Ungleichung mit Wurzel und Bruch lösen

Question

ich möchte diese Ungleichung lösen:

sqrt((x-2)/(x+1)) < 3

Was mich stört ist der Bruch. Wie sollte man bei einer solchen Ungleichung am besten vorgehen?

Quadrieren, damit die Wurzel verschwindet?

sqrt((x-2)/(x+1)) < 3

=

(x-2)/(x+1) < 3^2

Answer 1

√[ (x-2) / (x+1) ]  <  3       D = ] - ∞ ; -1[  ∪ [ 2 ; ∞ [

[ Genau dann haben die Terme x-2 und x+1 gleiches Vorzeichen und die Wurzel ist definiert. ]

Quadrieren:

(x-2) / (x+1) < 9  | • (x+1)

Bei der Multiplikation ergeben sich 2 Fälle, weil sich bei einer Ungleichung bei Punktrechnungen mit negativen Werten das Ungleichheitszeichen dreht:

1. Fall:  x > -1 , also x+1 > 0

x-2 < 9 * (x+1)  | Klammer ausmultiplizieren

x-2 < 9x+9        | - x  | - 9

-11 < 8x             | : 8 | ↔

x > - 11/8    ( und x > -1  und x ∈  ] -∞ ; -1[  ∪ [ 2 ; ∞ [  )

L₁  =  [ 2 ; ∞ [

2. Fall:  x < -1 , also x+1 < 0

x-2  >  9 * (x+1)  | Klammer ausmultiplizieren

...  wie oben

x < - 11/8   ( und x < -1  und x ∈  ] - ∞ ; -1[  ∪ [ 2 ; ∞ [   ]  ) 

L₂  =  ] - ∞ ; - 11/8 [

L  =  L₁ ∪ L₂  =  ] - ∞ ; - 11/8 [  ∪  [ 2 ; ∞ [ 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hey!

Also zunächst quadrieren ist richtig, aber du musst währen du die Wurzel verschwinden lässt auch Bedingungen stellen..in deinem Beispiel muss x größer gleich 2 sein oder kleiner -1, denn ansonsten hast du etwas negatives in der Wurzel!

So dann hast du den Bruch da stehen. jetzt einfach mal den Nenner, dann hast du rechts 9x+9 stehen und das ganze nach x umstellen...

Comments

@ Oroshimaru 
> So dann hast du den Bruch da stehen. jetzt einfach mal den Nenner, dann hast du rechts 9x+9 stehen und das ganze nach x umstellen... 
Wie ich das sehe, muss man dabei die Fälle  x<-1 und x>-1 (also x≥2) unterscheiden, weil sich im ersten Fall bei der Multiplikation das Ungleichheitszeichen umdreht.

Answer 3

Ungleichung mit Wurzel und Bruch lösen

Hier stand etwas Falsches , sorry.

Beitrag gelöscht.

 

Comments

Hi, x=2 löst die Ungleichung, deine Ausführungen können also nicht stimmen!

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Hä? Grosserloewe ist doch ein Experte :o

Oben hast du zb. einen Fehler gemacht beim umformen, wenn du durch -8 rechnest dreht sich das die ungleichung.

Dann zb. bei der Wurzel für x kleiner -1, wäre sie auch positiv.

Ich glaub du bist grad die Aufgabe ziemlich halbherzig angegangen ;-) :D

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Ja stimmt, sorry.

Das passiert Dir sicher auch irgendwann mal, Oroshimaru, deswegen brauchst Du Dich nicht gleich lustig über mich zu machen .

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@ Oroshimaru
> So dann hast du den Bruch da stehen. jetzt einfach mal den Nenner, dann hast du rechts 9x+9 stehen und das ganze nach x umstellen...
Wie ich das sehe, muss man dabei die Fälle  x<-1 und x>-1 (also x≥2) unterscheiden, weil sich im ersten Fall bei der Multiplikation das Ungleichheitszeichen umdreht.

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@Grosserloewe wollte mich nicht lustig machen! aber mir war bewusst, dass du die Aufgaben können müsstest und deswegen hab ich gesagt, dass du sie halbherzig angegangen bist :D

Answer 4

Zunächst untersuchen wir den Bruch:

Hier entnehmen wir die Grenzen (-1,2)

Es ergeben sich somit drei Fälle:

x<-1, -1<x<2, x>2

Wir quadrieren und holen x+1 auf die andere Seite, merke, dass für x<-1 sich das Zeichen dann umdreht:

Fall 1: x<-1

x-2>9x+9

x<-11/8

also L1(-inf, 11/8)

Fall 2: -1<x<2

....

Keine Lösung

Fall 3: x > 2

gleiche Rechnung wie in Fall 1, nur dreht sich hier nicht das Zeichen!

x > 11/8

somit L2 (2, inf+)

Comments

> Hier entnehmen wir die Grenzen (-1,2)

Für x=2 ist die Wurzel definiert, für x = -1 nicht!   D = ℝ \  [ -1,2 [ 

(vgl. meine Antwort)