Bruch mit Wurzel auflösen

Question

Bei mir in der Lösung steht:

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}   $$

Meiner Meinung nach müsste aber als Lösung \( \sqrt{n+1} \) - \( \sqrt{n} \) rauskommen.

Kann mir jemand sagen, was jetzt von beiden richtig ist ?

Answer 1

Hallo

Du hast recht, der andere Ausdruck ist höchstens eine Näherung für große n. Was war denn die Frage?

lul

Comments

Es geht um Numerik, in dem Beispiel steht, man solle immer mit x-y = \( \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y} \) rechnen, weil sonst beim Rechnen Stellen gelöscht werden.

---

Na, dann hast du's ja: Für große \(n\) ist der Unterschied der beiden Summanden nicht mehr der Rede wert und wird auch vom Taschenrechner nicht mehr angezeigt. Und dann wird die Summe im Nenner zu \(2\cdot\sqrt{n}\).

Answer 2

Deins ist richtig.

                                   .

Answer 3

Gemeint ist wohl der Grenzwert für n gegen oo.

Dann kann man die 1 vernachlässigen.

Sonst stimmt deine Lösung.

Wie lautet die ganze Aufgabe?

Comments

Es geht um Numerik, in dem Beispiel steht, man solle immer mit x-y = \( \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y} \) rechnen, weil sonst beim Rechnen Stellen gelöscht werden.

Answer 4

\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}  \)

Erweitern:

\(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} = \frac{1}{2\sqrt{n}}  \)

3.Binom:

\(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n} = \frac{1}{2\sqrt{n}}  \)

\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{1}{2\sqrt{n}}  \)

Comments

Was genau soll das aussagen?

---

Ich habe gezeigt, dass

\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \) ist.

---

Oder die Frage nicht verstanden. Davon abgesehen kam der FS bereits auf dasselbe Ergebnis.