Wendepunkte einer Funktion 4. Grades

Question

ich komme mit einer Aufgabe nicht zu recht. Es geht um die Wendepunkte. Wir haben immer mit Funktionen des 3 Grades gearbeitet und nie mit 4. In der Regel setzt man die 2 Ableitung = 0 und löst sie nach x auf. Jedoch bei der neuen Aufgabe ist dies bestimmt mit einer anderen Vorgehensweise möglich, da ich keine x sondern x² bei der zweiten Ableitung habe. Es geht einmal um die folgende Funktion:

f (x) = 1/4x hoch 4 - 2x² - 9/4

Und so habe ich gerechnet:

F´(x)= 1x³-4x

F´´(x)=3x²-4

F´´´(x)=6x

F´´´´(x)=6

F´´(x)= 3x²-4=0 l +4

             3x²=4 l : (3)

              x=4/3

x1= 1 und x2= 4/3

F´´´(x)=6x größer 0 und somit Rechts-Links-Wendepunkt

Mehr komme ich nicht weiter. Hat die Funktion etwa 2 Wendepunkte oder ein Wendepunkt und ein Schattelpunkt? Ich weiß leider nicht wie ich die Gleichung richtig lösen kann damit ich die ungleich 0 in die 3 Ableitung setzen kann und somit die W Koordinaten zu bekommen. Würde mir vielleicht bitte jemand dabei helfen? Danke schön :)

Answer 1

f (x) = 1/4x hoch 4 - 2x² - 9/4

Und so habe ich gerechnet: 

F´(x)= 1x³-4x

F´´(x)=3x²-4

F´´´(x)=6x

F´´´´(x)=6

F´´(x)= 3x²-4=0 l +4

             3x²=4 l : (3)

              x^2 = 4/3        | Wurzel ziehen

              x=± √(4/3) 

x1 = 2/√3 und x2 = -2/√3 

Zu beiden brauchst du jetzt noch einen y-Wert. 

F´´´(x)=6x größer 0 und somit Rechts-Links-Wendepunkt

Hier gibt es dann auch 2 Fälle. 

Kontrolle mit Plotter:

~plot~ 1/4 * x^4 - 2x^2 - 9/4; x=2/sqrt(3); x=-2/sqrt(3) ~plot~

Comments

Wie meinen Sie das mit zwei Fällen? Ich dachte man entscheidet mit der 3 Ableitung ob es Links-Rechts oder Rechts-Links / Wendepunkt ist. In dem Fall hab ich nur eine 3 Ableitung.

In dem Fall die F´´´(x)=6x oder verwechsle ich da etwas?

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Und jetzt musst du bei 6x die beiden x-Werte einsetzen.

Dann bekommst du einmal ein positives und einmal ein negatives Resultat.

Schau dann in der Skizze, ob du die Links- und Rechtskurven links und rechts der beiden farbigen vertikalen Linien erkennst.

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Alles klar vielen Dank, jetzt habe ich das Verstanden :D

Könnten Sie mir noch bei zwei Fragen helfen?

Frage1: Ein lokaler Hochpunkt von G(f) bewirkt eine Nullstelle in f´ mit einem...

Frage2: Ein Tiefpunkt von G(f) bewirkt eine Nullstelle in f´ mit einem...

Ich würde jetzt für die eins Extremum tippen oder eine positive Steigung. Aber ich weiß nicht wie ich das richtig beantworten soll. Im Internet bzw. in google habe ich dazu leider nichts passendes, was sich genau auf die Frage bezieht gefunden.

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Frage1: Ein lokaler Hochpunkt von G(f) bewirkt eine Nullstelle in f´ mit einem Plus/Minus-Vorzeichenwechsel.

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Vielen Dank und bei zwei einfach Minus/Plus Vorzeichenwechsel oder? :D

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Ja, so ist es!                

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Dankeschön, alles Perfekt erklärt, schnell, hilfreich und somit die beste Antwort :) Die anderen Antworten von anderen Leuten waren natürlich auch hilfreich.

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Hier sieht man die Wendepunkte besser:

Answer 2

wo ist Dein Problem?

Zweite Ableitung = 0 und mit dritter bestätigen.

Glaubst Du, eine Funktion darf nur einen Wendepunkt haben? Ich hoffe, Dir ist auch schon klar, dass es mehr als drei Zahlen gibt, und dass nicht jedes Ergebnis eine ganze Zahl sein muss.

Grüße,

M.B.

Comments

Nein natürlich nicht. Nur wir haben bis jetzt mit einen Wendepunkt gearbeitet und heute die Aufgabe für die nächste Woche bekommen.

Also soll ich einfach:

F´´(x)= 3x²-4=0 l +4

             3x²=4 l : (3)

              x=4/3

Nochmals durch x teilen, damit das x weg bleibt? Weil wen ich die x² durch die x teile, bleibt jedenfalls die x über und die eine x muss ich schließlich auch los werden, damit ich das Ergebnis in die 3 Ableitung benutzten kann?

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Du ziehst die Wurzel auf beiden Seiten.

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3x^2-4 = 0

x^2 = 4/3

x1 = +sqrt(4/3)

x2 = -sqrt(4/3)

Eine quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.

Und es ist falsch zu behaupten, man müsse die Wurzel ziehen, da per Definition die Wurzel nur die positive Lösung umfasst.

Durch x teilen ist grundsätzlich falsch, da (a) Du es auf beiden Seiten tun muss, und nicht nur links, und (b) es sowieso nur gemacht werden darf, wenn Du sicher stellen kannst, dass es nicht 0 ist (und das kannst Du normalerweise nicht).

Grüße,

M.B.

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Eine quadratische Gleichung hat zwei Lösungen?

Wie lauten diese bei x^2 = 0 ?

Nicht zum ersten und nicht zum letzten Mal stelle ich die Frage, ob Spitzfindigkeiten den Schülern bei der Bewältigung ihrer Aufgaben wirklich dienlich sind.

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die lauten (rein formal) +0 und -0.

Das ist keine Spitzfindigkeit, sondern eine mathematische Regel, an die Du Dich zu halten hast.

Mathematik bedeutet in weiten Bereichen eben nicht nur stures Rechnen, sondern vor allem zu lernen, analytisch zu denken, zu planen und zu handeln. Formeln haben Voraussetzungen, die sind einzuhalten.

Die Tatsache, dies als "spitzfindig" zu bezeichnen und auch zu ignorieren, führt dann dazu, dass die Leute nicht denken können, weil sie es nie gelernt haben, korrekt zu arbeiten.

Es ist von entscheidender Wichtigkeit bei Kurvendiskussionen, aber auch in der Linearen Algebra (charakteristisches Polynom, Diagonalisierung, etc), nicht nur die Nullstelle als solche, sondern auch deren Vielfachheit zu kennen.

Ach ja: Es gibt außerdem noch den Fundamentalsatz der Algebra. (Es gibt nur sehr wenige Sätze in der Mathematik, die man als "Hauptsatz" oder "Fundamentalsatz" bezeichnet, und wenn man es dann doch macht, hat das schon seinen Grund.) Du solltest den mal wieder lesen.

Grüße,

M.B.

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leider wurde meine Antwort von den Administratoren zerstückelt. Es gibt scheinbar Leute, die Kritik nicht ertragen können.

Grüße,

M.B.

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@MatheMB> Es gibt scheinbar Leute, die Kritik nicht ertragen können
.Anscheinend hat Sie Ihr Unterbewusstsein nah an die Wahrheit herangeführt :

"scheinbar" beinhaltet "nicht wirklich".

Answer 3

Wendepunkte einer Funktion 4. Grades

Zum Schluss hast Du vergessen, die Wurzel zu ziehen.

Comments

Vielen Dank :) Nur ich verstehe nicht, warum bei mir andere Zahlen dabei heraus kommen. Wie sind Sie den auf die -161 / 36 gekommen?  Ich habe auf der 1x und 4/3 die Wurzel gezogen und das Ergebnis in die Ursprungsfunktion eingegeben und bei mir kommen andere Zahlen heraus.

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ich habe die Wendepunkte in die Ausgangsfunktion eingesetzt:

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f (x) = 1/4x hoch 4 - 2x² - 9/4

muss man zwei mal Rechnen oder nur einmal ?

Ich habe einmal aus x1 und x2 folgende Werte raus.

+ Wurzel aus 4/3 = 1,15

- Wurzel aus 4/3 = - 1,15

Ist das so richtig? Also wenn ja muss ich die 1,15 in die Ursprungsfunktion einsetzen?

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+ Wurzel aus 4/3 = 1,15

- Wurzel aus 4/3 = - 1,15

Diese beiden Werte mußt Du in die Aufgabe einsetzen.

Du kannst es Dir aber auch vereinfachen, so wie ich es rechnete.

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Alles klar :D bei mir kommt nämlich -4,46 und bei dir -4,47 kein großer unterschied. Was ich noch nicht verstehe ist, warum es zwei Wendepunkte gibt.

Also gibt es insgesamt einmal rechts-links und einmal links-rechts wendepunkt?

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"Also wenn ja muss ich die 1,15 in die Ursprungsfunktion einsetzen?"

nein, das darfst Du nicht! Du musst wurzel(4/3) einsetzen.

Das eine ist ein gerundeter Wert, das andere der exakte Wert.

Es mag zwar in der Technik keine Rolle spielen, ob z.B. als Ergebnis 0.0 oder 0.00000001 herauskommt, weil die Abweichung keine echte Relevanz hat.

Hier wird Mathmatik betrieben. Das erste ist eine Nullstelle, das zweite ist es nicht. Und das ist ein fundamentaler Unterschied.

Grüße,

M.B.

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@Mathe-MB

x² = 4/3

>Und es ist falsch zu behaupten, man müsse die Wurzel ziehen, da per Definition die Wurzel nur die positive Lösung umfasst.

Was soll das?

Wurzelziehen ist über ℝ₀⁺  eine Äquivalenzumformung:

x² = 4/3      | √      

⇔  |x| = √(4/3)

⇔  x = √(4/3) oder x = - √(4/3)

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> Durch x teilen ist grundsätzlich falsch, da (a) Du es auf beiden Seiten tun muss, und nicht nur links, und (b) es sowieso nur gemacht werden darf, wenn Du sicher stellen kannst, dass es nicht 0 ist (und das kannst Du normalerweise nicht). 

Mit einer Fallunterscheidung kann man dass normalerweise durchaus sicherstellen..

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Hallo Wolfgang,

Hier wird nicht in R₀⁺ sondern in R gerechnet. Ich sehe auch keine Fallunterscheidung oder einen Absolutbetrag bzgl. der Wurzel.

Ich sehe auch keine Fallunterscheidung bzgl. der Division durch x. Bevor man durch etwas dividiert, sollte man ausklammern und die Multiplikationsgesetze verwenden. Nullteiler ist hier ein Stichwort.

(Und falls Du Dich noch erinnerst: Die reellen Zahlen haben die Struktur eines Körpers. In einem Körper gibt es nur zwei Verknüpfungen, nämlich plus und mal. Eine Division existiert formal überhaupt nicht.)

Habe ich es schon gesagt? Mathematik bedeutet in erster Linie sein Gehirn benutzen, und erst in zweiter Linie rechnen.

Grüße,

M.B.

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Answer 4

Du hast beim nullsetzen der zweiten Ableitung einen Fehler gemacht. Du musst aus 4/3 noch die Wurzel ziehen.