Wahrscheinlichkeit Klausurtermin

Question

ich kämpfe mit folgender Aufgabe:

Geben Sie einen passenden Ergebnisraum an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

i) wenn der Dozent den Termin für die einmal im Jahr stattfindende Klausur zufällig und gleichverteilt wählt, diese nicht an Heiligabend stattfindet,

ii) wenn der Dozent die Termine für die an zwei unterschiedlichen Tagen im Jahr stattfindenden Klausuren zufällig und gleichverteilt wählt, mindestens eine an Heiligabend stattfindet,

iii) wenn der Dozent die Termine für die an zwei unterschiedlichen Tagen im Jahr stattfindenden Klausuren zufällig und gleichverteilt wählt, diese an zwei aufeinander folgenden Tagen stattfindet.

(Nehmen Sie an, dass das Jahr kein Schaltjahr ist)

zu i)     Ich habe P("zufälliger Tag") = 1/365

      Habe dann mit dem Komplement weitergerechnet:  P("nicht an Heiligabend") =  1 - 1/365 = 364/365

Ich hoffe, dass ich das zumindest richtig habe :D

zu ii)  zwei unterschiedliche Tage heißt, dass es sich einmal ausschließt...

also die Wahrscheinlichkeit für einen Tag ist 1/365 und ein anderer Tag wäre dann doch 1/364 oder? Aber wie muss ich das miteinander verbinden und vor allem wie muss ich mit dem "mindestens" an Heiligabend umgehen?

zu iii) hier fehlt mir der komplette Ansatz für die zwei aufeinanderfolgende Tage...

bin leider in Stochastik schon immer echt schlecht gewesen und hoffe ihr könnt mir mit viel Geduld weiterhelfen!

Liebe Grüße

Lena

Answer 1

Schau mal, ob du mit meinen Vorschlägen einverstanden bist. Ohne Gewähr!

Geben Sie einen passenden Ergebnisraum an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 

i) wenn der Dozent den Termin für die einmal im Jahr stattfindende Klausur zufällig und gleichverteilt wählt, diese nicht an Heiligabend stattfindet,

P = 364/365

ii) wenn der Dozent die Termine für die an zwei unterschiedlichen Tagen im Jahr stattfindenden Klausuren zufällig und gleichverteilt wählt, mindestens eine an Heiligabend stattfindet,

P(mindestens eine an Heiligabend) = 1 - P(keine an Heiligabend) = 1 - (364*363)/(365*364) = 1 - 363/365 = 2/365

iii) wenn der Dozent die Termine für die an zwei unterschiedlichen Tagen im Jahr stattfindenden Klausuren zufällig und gleichverteilt wählt, diese an zwei aufeinander folgenden Tagen stattfindet.

        

günstige Ausfälle 365*2 -1 - 1 . eine Klausur beliebig. Die andere hat noch 2 Mögl. Ausnahme: 1.Januar hat nur einen Nachfolgetermin und 31.Dez. nur einen Vorgängertermin.

Mögliche Ausfälle 365*364

P(iii) = (365*2 - 1- 1) / (365*364) = (364*2)/(365 * 364) = 2/365

(Nehmen Sie an, dass das Jahr kein Schaltjahr ist)

Comments

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe!

Deine Ansätze sind mir alle klar. Aber kannst du mir erklären, wie du auf 363 kommst? Und das Produkt für 365*364 für die möglichen Ausfälle?

---

P(keine an Heiligabend) = 

günstige Ausfälle 364*363 | die Erste an 364 Tagen und dann die Zweite an 363 Tagen.

mögliche Ausfälle 365*364  | die Erste an 365 Tagen und dann die Zweite an 364 Tagen.

P(keine an Heiligabend) = (364*363)/(365*364) =  363/365 

Ich zähle hier in beiden Zählungen jedes Terminpaar doppelt. Das muss ich bei den günstigen und den möglichen Ausfällen gleich machen. 

Du kannst auch anders vorgehen und Binomialkoeffizienten benutzen:

Günstige Ausfälle: (364 tief 2)         . Zwei Termine die nicht an Heiligabend sind.

Mögliche Ausfälle: (365 tief 2)   . Zwei beliebige Termine. 

Mittels Bruchrechnung... sollte eigentlich das gleiche Resultat rauskommen: 363/365. Versuche das mal, so hast du eine Kontrolle meiner Rechnung . (Oder du findest vielleicht einen Überlegungsfehler) 

Maschinelle Prüfung: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(364+choose+2)%2F(365+choose+2) 

zeigt, dass das Kürzen eigentlich klappen müsste.