g(t)=a*h(t+b) wofür steht a und b

Question

h(t)=-0,0025*t^3+0,04*t^2+9,17

g(t)=-0,002*t^3+0,014*t^2+0,138*t+7,57

Die Funktion g kann auch in der Form g(t)=a*h(t+b) dargestellt werden.

Ich verstehe jetzt nicht wofür a und b steht und wie man darauf kommt g so darzustellen.

Danke für eure Hilfe

Comments

\(h\) hat bei \(x=5\frac13\) eine Wendestelle. \(g\) hat bei \(x=2\frac13\) eine Wendestelle.
Daher muss \(b=3\) sein.

Answer 1

b steht für eine Verschiebung nach rechts oder links. a steht für eine anschließende vertikale Streckung. Das müsste in der Schule mal beim Thema Funktionstransformationen besprochen worden sein.

Berechnen kannst du b und a indem du zwei Zahlen wählst, sie für t in der Gleichung g(t)=a*h(t+b) einsetzt und das enstande Gleichungssystem löst.

Zum Beispiel bekommst du für t=355/113 und für t=-65537 die Gleichungen

        g(355/113)=a*h(355/113+b)

        g(-65537)=a*h(-65537+b)

Was unter Verwendung der Funktionterme zu

        -0,002*(355/113)³+0,014*(355/113)²+0,138*(355/113)+7,57 = a*(-0,0025*(355/113+b)³+0,04*(355/113+b)²+9,17)

        -0,002*(-65537)³+0,014*(-65537)²+0,138*(-65537)+7,57 = a*(-0,0025*(-65537+b)³+0,04*(-65537+b)²+9,17)

führt

> wie man darauf kommt g so darzustellen

Man verwendet eine Computer um sich die Graphen der Funktionen anzeigen zu lassen. Dann sieht man, dass die eine Funktion vermutlich eine horizontale Verschiebung und vertikale Streckung der anderen ist. Das muss dann natürlich noch rechnerisch geprüft werden. Aber diese Prüfung ist nicht Teil der Aufgabenstellung.

Answer 2

h(t)=-0,0025*t³+0,04*t²+9,17

g(t) = -0,002 * t³ + 0,014 * t² + 0,138 * t + 7,57

g(t) = a * h(t + b)   = 

a * [ -0,0025 * (t+b)³ + 0,04 * (t+b)² + 9 ,17 ]  =  - 0,002 * t³ + 0,014 * t² + 0,138 * t + 7,57

- a · t³ / 400 + a · t²·(16 - 3·b) / 400 + a·b·t·(32 - 3·b)/400 - a·(b³ - 16·b² - 3668)/400

                                                              = - 0,002 * t³ + 0,014 * t² + 0,138 * t + 7,57

Koeffizientenvergleich:

für t³:     →     - a / 400 = - 0,002  → a = 0,8  

für t²:     →     0,8 · b·(32 - 3·b) / 400  = 0,138  →  b = 3 

 [ b = 23/3 entfällt bei Probe durch Einsetzen von a und b ]

Der Graph von g ergibt sich also aus dem Graph von h, wenn man letzteren um 3 nach links verschiebt und dann die y-Werte mit dem Faktor 0,8 streckt.

Gruß Wolfgang