Abschnittsweise definierte Funktion integrieren (x-1)^2 für |x| < pi

Question

wie genau integriere ich diese Funktion? (von -pi bis pi)

Normalerweise würde ich abschnittsweise integrieren, aber der Abschnitt pi^2+1 von pi bis pi ist ja 0 und f(-pi) ist gar nicht definiert.

Answer 1

Berechne \(\lim_{\begin{array}{l}a\searrow-\pi\\b\nearrow\pi\end{array}}\int_{a}^{b}(x-1)^{1}\mathrm{d}x\)

Answer 2

Strenggenommen muss die Funktion schon auf ganz \([-\pi,\pi]\) definiert sein, wenn Du ueber dieses Intervall integrieren willst. Das Integral ist aber unempfindlich gegenueber Aenderung des Integranden an endlich vielen Stellen. Du kannst also einfach an den beiden Randstellen den Funktionswert annehmen, der sich aus dem ersten Zweig ergibt: $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx=\int_{-\pi}^\pi(x-1)^2\,dx.$$

Answer 3

das Integral über einen einzigen Punkt ist 0. Du integrierst dabei von a nach a, was Dich auf F(a)-F(a) = 0 führt.

Das bedeutet, dass man aus einer Menge beliebig viele (aber eine endliche Anzahl, selbst wenn diese extrem groß ist) Punkte wegnehmen kann, ohne dass sich der Wert des Integrals ändert. Das bedeutet auch, dass Du einzelne Punkte hinzunehmen kannst, ohne dass sich der Wert des Integral ändert.

Für Deine Funktion heißt das, ob -pi oder +pi dazugehören, ist völlig egal, Du integrierst einfach von -pi nach +pi. Das Integral über pi im zweiten Teil ist 0 und kann ignoriert werden.

(Und komm bloß nicht auf die Idee und mache einen Grenzwert.)

Grüße,

M.B.