Stetigkeit abschnittsweise definierte Funktion

Question

Aufgabe:

Seien f,g: ℝ → ℝ stetig und x₀ in ℝ und h: ℝ → ℝ definiert als:
x → f(x) (falls x < x₀)

x → g(x) sonst

Es gilt zu zeigen, dass h genau dann stetig ist, wenn f(x₀) = g(x₀)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinerlei Ansatz und suche eine Lösung mit dem ε-δ-Kriterium. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Comments

Schreib doch mal die Definition auf, was es bedeutet, dass f im Punkt x_0 stetig ist (epsilon, delta):

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h ist nicht definiert.

Answer 1

Sei \(\varepsilon > 0\).

Sei \(\delta_f > 0\), so dass \(|f(x_0) - f(x)| < \varepsilon\) für alle \(x\in [x_0-\delta_f, x_0+\delta_f]\). Begründe warum ein solches \(\delta_f\) existiert.

Sei \(\delta_g > 0\), so dass \(|g(x_0) - g(x)| < \varepsilon\) für alle \(x\in [x_0-\delta_g, x_0+\delta_g]\). Begründe warum ein solches \(\delta_g\) existiert.

Angenommen \(f(x_0) = g(x_0)\). Bestimme ein \(\delta > 0\), so dass \(|h(x_0) - h(x)| < \varepsilon\) für alle \(x\in [x_0-\delta, x_0+\delta]\).

Comments

δ_f und δ_g existieren, weil f und g stetig sind, das ist klar. Leider weiß ich nicht so ganz, wie sich nun δ_h daraus ableiten lässt

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Überlege dir, was das \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium anschaulich bedeutet.

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Kann es sein, dass es sich einfach um das Minimum der Beiden handelt?

Angenommen r ist f(x_0) = g(x_0) und δ_f ist kleiner als δ_g. Dann gilt für h, wenn |h(x) - r| = |f(x) - r|, dass |x - x_0| < δ_f und aufgrund der Stetigkeit von f, dass h auch hier stetig ist.

Wenn nun gilt, dass |h(x) - r| = |g(x) - r|, dann gilt, wenn |x - x_0| < δ_f wir auch definitiv kleiner als δ_g sind und wir uns somit auch definitiv innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen und aufgrund der Stetigkeit in g h auch hier stetig ist?

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Kann es sein, dass es sich einfach um das Minimum der Beiden handelt?

Ja.

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Denke auch an die andere Richtung: wenn \(f(x_0)\neq g(x_0)\) ist, dann ist \(h\) nicht stetig.