Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extrempunkte des Graphen von f.

Question

Aufgabe:

In einer Petrischale wird eine Bakterienkultur beobachtet, die sich zunächst vermehrt und nach einigen Stunden aufgrund eines äußeren Einflusses abstirbt.
Die Funktion f mit f(x) = -0,06x^3+ 0,6x^2 + 0,8x + 2 beschreibt näherungsweise das Wachstum dieser Bakterienkultur, wobei f(x) (in cm^2) die mit Bakterien bedeckte Oberfläche der Petrischale angibt und x die Zeit in Stunden nach
Versuchsbeginn (x= 0).

f)
Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extrempunkte des Graphen von f.
Interpretieren Sie dann das Ergebnis im Sachzusammenhang:
Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich an.
Zu welchem Zeitpunkt bedeckt die Bakterienkultur die größte Fläche? Wie groß ist der maximale Flächeninhalt?

Problem/Ansatz:

Wie bestimmte ich den Definitionsbereich?

Answer 1

Wachstum dieser Bakterienkultur, wobei f(x) (in cm2) die mit Bakterien bedeckte Oberfläche der Petrischale angibt und x die Zeit in Stunden nach Versuchsbeginn (x= 0).

Gib Eigenschaften an, die \(x\) und \(f(x)\) haben müssen.

Wie bestimmte ich den Definitionsbereich?

Gib an, wo \(f\) obige Eigenschaften hat.

Comments

Wie meinst du das genau? Vielen Dank!

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f(x) (in cm²) die mit Bakterien bedeckte Oberfläche der Petrischale

Laut Wikipedia haben Petrischalen häufig einen Außendurchmesser von 50 oder 92 bis 93 mm.

Wann ist die Petrischale komplett mit Bakterien bedeckt?

Außerdem sind Flächeninhalte nicht negativ.

x die Zeit in Stunden nach Versuchsbeginn (x= 0)

Insbesondere ist es nicht sinnvoll, zu betrachten was \(f\) für \(x < 0\) macht.

Answer 2

f '(x) = 0

0,18x^2+1,2x+0,8 =0

x^2+ 20/3*x+40/9 =0

pq-Formel:

x1/2= -10/3±√(100/9-40/9)

....

Die Extrempunkte zeigen die Stellen mit der größten bzw. kleinsten Zunahme an.

D= [0;oo)

Die Fläche ist das Integral von f(x) von 0 bis a.

Für die größte Fläche gilt:

F'(x) = 0 mit F'(x) = f(x)

Berechne f(x)= 0 mit einem Näherungsverfahren.

(Lösung x= 11,42)

Comments

Also ist der Defiintionsbereich von 0 bis unendlich

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In der Aufgabe steht "sinnvoll" !

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Also ist der Defiintionsbereich von 0 bis unendlich

Hier nur bis zur Nullstelle, weil dort Schluss ist mit Wachstum, wie man hier sieht:

https://www.wolframalpha.com/input?i=-0.06x3%2B+0.6x2+%2B+0.8x+%2B+2+

Theoretisch ist D unbegrenzt, weil f(x) auf ganz definiert ist.

Ich habe SINNVOLL überlesen, weil es nicht hier nicht stand:

Problem/Ansatz:
Wie bestimmte ich den Definitionsbereich?

Ohne den Graphen erkennt man es nicht auf Anhieb.

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Hallo,

Die Fläche ist das Integral von f(x) von 0 bis a.

Das widerspricht der Vorgabe:

... wobei f(x) (in cm^2) die mit Bakterien bedeckte Oberfläche der Petrischale angibt ...

Also ist f(x) der Flächeninhalt zur Zeit x.

Damit gibt das Maximum von f den Flächeninhalt der größten bedeckten Fläche an.

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Schau dir mal dies hier an:

https://www.wolframalpha.com/input?i=maximize+-0.06x3%2B+0.6x2+%2B+0.8x+%2B+2+

Die Lösung ist nicht die maximale Fläche.

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\( \max \left\{-0.06 x^{3}+0.6 x^{2}+0.8 x+2\right\} \approx 16.4733 \) at \( x \approx 7.27739 \)

Das interpretiere ich so:

Nach ca. 7,277 Stunden ist die größte Fläche von ca. 16,473cm² bedeckt.

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Die Funktion f mit f(x) = -0,06x3+ 0,6x2 + 0,8x + 2 beschreibt näherungsweise das Wachstum

Das klingt nach Wachstumsgeschwindigkeit.
Daher dachte ich an die Fläche wie bei Geschwindigkeitskurven und zurückgelegtem
Weg.

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"klingt nach...", "dachte ich...": Wozu? In der Aufgabe steht ganz klar und unmissverständlich, dass f(x) der Flächeninhalt ist.

Davon abgesehen, geht die Antwort an der Frage vorbei, die sich allein auf den Definitionsbereich bezieht. Da ist die Antwort von @oswald hilfreich.

Answer 3

Nullstelle

f(x) = - 0.06·x^3 + 0.6·x^2 + 0.8·x + 2 = 0 --> x = 11.42 h

Nach ca. 11.42 Stunden ist die Bakterienkultur abgestorben. Daher ist der sinnvollte Definitionsbereich

D = [0 ; 11.42]

Hochpunkt

f'(x) = - 0.18·x^2 + 1.2·x + 0.8 = 0 --> x = 7.277 h (oder x = -0.6107)

f(0) = 2 cm²
f(7.277) = 16.47 cm²
f(11.42) = 0.02452 cm²

Extrempunkt bei ca. (7.277 | 16.47). Nach ca. 7.277 h erreich die Bakterienkultur mit einer Fläche von etwa 16.47 cm² ihren größten Wert.

Skizze

~plot~ -0.06x^3+0.6x^2+0.8x+2;{0|2};{7.277|16.47};{11.42|0};[[-1|12|-1|17]] ~plot~