Stetigkeit abschnittsweise definierte Funktion

Question

Aufgabe:

Seien f,g: ℝ → ℝ stetig und x₀ in ℝ und h: ℝ → ℝ definiert als:
x → f(x) (falls x < x₀)

x → g(x) sonst

Es gilt zu zeigen, dass h genau dann stetig ist, wenn f(x₀) = g(x₀)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinerlei Ansatz und suche eine Lösung mit dem ε-δ-Kriterium. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Comments

Schreib doch mal die Definition auf, was es bedeutet, dass f im Punkt x_0 stetig ist (epsilon, delta):

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h ist nicht definiert.

Answer 1

Sei $\varepsilon > 0$.

Sei $\delta_f > 0$, so dass $|f(x_0) - f(x)| < \varepsilon$ für alle $x\in [x_0-\delta_f, x_0+\delta_f]$. Begründe warum ein solches $\delta_f$ existiert.

Sei $\delta_g > 0$, so dass $|g(x_0) - g(x)| < \varepsilon$ für alle $x\in [x_0-\delta_g, x_0+\delta_g]$. Begründe warum ein solches $\delta_g$ existiert.

Angenommen $f(x_0) = g(x_0)$. Bestimme ein $\delta > 0$, so dass $|h(x_0) - h(x)| < \varepsilon$ für alle $x\in [x_0-\delta, x_0+\delta]$.

Comments

δ_f und δ_g existieren, weil f und g stetig sind, das ist klar. Leider weiß ich nicht so ganz, wie sich nun δ_h daraus ableiten lässt

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Überlege dir, was das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium anschaulich bedeutet.

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Kann es sein, dass es sich einfach um das Minimum der Beiden handelt?

Angenommen r ist f(x_0) = g(x_0) und δ_f ist kleiner als δ_g. Dann gilt für h, wenn |h(x) - r| = |f(x) - r|, dass |x - x_0| < δ_f und aufgrund der Stetigkeit von f, dass h auch hier stetig ist.

Wenn nun gilt, dass |h(x) - r| = |g(x) - r|, dann gilt, wenn |x - x_0| < δ_f wir auch definitiv kleiner als δ_g sind und wir uns somit auch definitiv innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen und aufgrund der Stetigkeit in g h auch hier stetig ist?

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Kann es sein, dass es sich einfach um das Minimum der Beiden handelt?

Ja.

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Denke auch an die andere Richtung: wenn $f(x_0)\neq g(x_0)$ ist, dann ist $h$ nicht stetig.