Naturwissenschaften: Temperatur in Kaffeetasse T(t) = a*e ^ -kt + b

Question

Die Temperatur  T(c) einer Kaffeetasse beträgt im Zeitpunkt  t (min )  T(t) = a*e ^ -kt + b
man misst T(0.5) =86 , T(4) = 68.5 , T(7.5) = 55.5
Berechne den Parameter a , b und k

Comments

Etwas Ähnliches hier https://www.mathelounge.de/25519/das-newtonsche-abkuhlungsgesetz-bsp-bier-aus-kuhlschrank vielleicht kannst du dich vom Lösungsweg dort schon mal inspirieren lassen( ?)

Answer 1

T(t) = a*e^{-kt} + b

T(0.5) = a*e^{-0.5k} + b = 86
T(4) = a*e^{-4k} + b = 68.5
T(7.5) = a*e^{-7.5k} + b = 55.5

II - I, III - II

a·e^{-0.5·k} - a·e^{-4·k} = 17.5
a·e^{-7.5·k} - a·e^{-4·k} = -13

I : II

(a·e^{-0.5·k} - a·e^{-4·k}) / (a·e^{-7.5·k} - a·e^{-4·k}) = 17.5/-13

(e^{15·k/2} - e^{11·k})/(e^{15·k/2} - e^{4·k}) = - 35/26

e^{15·k/2} - e^{11·k} = - 35/26·(e^{15·k/2} - e^{4·k})

26·e^{7.5·k} - 26·e^{11·k} = 35·e^{4·k} - 35·e^{7.5·k}

61·e^{7.5·k} - 26·e^{11·k} - 35·e^{4·k} = 0

e^{4·k}·(61·e^{3.5·k} - 26·e^{7·k} - 35) = 0

61·e^{3.5·k} - 26·e^{7·k} - 35 = 0

z = e^{3.5·k}

61·z - 26·z^2 - 35 = 0

z = 35/26 ∨ z = 1

k = ln(z) / 3.5

k = 0.08492900670
k = 0

Jetzt rückwärts einsetzen

a·e^{-0.5·0.08492900670} - a·e^{-4·0.08492900670} = 17.5
a = 71.00773880

71.00773880*e^{-0.5*0.08492900670} + b = 86
b = 17.94444444

T(t) = 71.0077388·e^{- 0.0849290067·t} + 17.94444444

Das ist die gesuchte Funktion.

Comments

  das Ergebnis k = 0.0848 habe ich auch herausbekommen, aber wie geschieht diese
Umformung

( a·e^-0.5·k - a·e^-4·k ) / ( a·e^-7.5·k - a·e^-4·k ) = 17.5/-13

Die rechte Seite wurde mit 2 erweitert, ok.
Das a auf der linken Seite wurde gekürzt,ok.

Aber wie haben sich die Exponenten so toll verwandelt ?

(e^15·k/2 - e^11·k ) / (e^15·k/2 - e^4·k ) = - 35/26

  mfg Georg

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(a·e^-0.5·k - a·e^-4·k) / (a·e^-7.5·k - a·e^-4·k) = 17.5/-13

a(e^-0.5·k - e^-4·k) / (ae^{-11.5k}(e^4·k - e^7.5·k)) = - 35/26

e^{11.5k}(e^-0.5·k - e^-4·k) / (e^4·k - e^7.5·k) = - 35/26

(e^7.5·k - e^11·k)/(e^7.5·k - e^4·k) = - 35/26