Beweise: Limes ( n-te Wurzel aus ( n!)) = unendlich für n gegen unendlich

Question

Hi, kann mir jemand einen einfachen Beweis für lim (n->unendlich) ⁿ√(n!) -> unendlich geben?

Comments

Zeige z.B. per Induktion über \(n\), dass \(\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt n\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.

Answer 1

Eine einfache direkte Herleitung ergibt sich aus der Abschaetzung \(n!>(n/2)^{n/2}\), die man leicht gewinnen kann.

Comments

wie zeigt man die abschätzung?

Answer 2

Ich würde n ! ≥ 3 * (n/3) ^n   vorziehen, das kannst du so beweisen:

n=1  :               1 ! ≥ 3 * (1/3) ^ 1    = 1  stimmt.

n ⇒ n+1 etwa so: Sei    #   n ! ≥ 3 * (n/3) ^n   wahr für n, dann gilt

(n+1) ! =  ( n+1) * n !   und wegen #

≥ (n+1) * 3 * (n/3) ^n     und wegen ( 1 + 1/n ) ^n < e < 3  also

≥ (n+1) * ( 1 +1/n ) ^n   * (n/3) ^n 

=  (n+1) * ( (n +1) /n ) ^n   * (n/3) ^n 

=  (n+1) * ( (n +1)^n  /  n^n )  * (n^n  /3 ^n )    also n^n kürzen gibt

=  (n+1) * ( (n +1)^n   /3 ^n ) 

= 3 *  (n+1)   / 3   * ( (n +1)  /3 )   ^n

= 3  * (  ( n+1) / 3   ) ⁿ⁺¹    q.e.d. 

Dann ist also 

n-te wurzel ( n! )  ≥  n-te wurzel ( 3*  ( n/3) ^n  )

                              =    n-te wurzel ( 3 )   *  ( n/3)  

und    n-te wurzel ( 3 ) geht gegen 1 , aber  n/3 gegen unendlich.

Answer 3

Du kannst einen Widerspruchsbeweis durchführen, und zwar indem du das Integral des natürlichen Logarithmus von 0 bis 1 über die Untersumme ermittelst.

Du hättest:

∫ ln x.   in den Grenzen 0 bis 1 =

lim n -> ∞

(1/n) * (ln (1/n) + ln(2*1/n) +...+ln(n*1/n)) =

(1/n) * (n*ln(1/n) + ln(1) + ln(2)+...+ln(n)) =

(1/n) * (n*ln(1/n) + ln(n!)) =

ln(1/n) + ln(n!) /n =

ln(1/n) + ln(\( \sqrt[n]{n! } \))

Da n gegen unendlich strebt, strebt 1/n gegen Null und somit ln(1/n) gegen -∞.

Da ∫lnx in den Grenzen 0 bis 1 = 1 gilt, kann

ln(\( \sqrt[n]{n! } \)) kein endliche Wert sein, sondern muss gegen ∞ streben.