Konfidenzintervall beim Statistischen Bundesamt

Question

könnt ihr mir bei einer Aufgabe helfen?

Aufgabe:

Laut Statistischem Bundesamt sind 30% der Personen, die älter als 85 Jahre alt sind, Männer. In einer Zufallsstichprobe von 40 Personen, die älter als 85 Jahre alt  sind, beträgt der Anteil der Männer 55%. Ist dieses Ergebnis mit der Angabe des Statistischen Bundesamt statistisch verträglich?

Verwenden Sie das nebenstehende Diagramm.

Dann ist dort halt ein Diagramm mit n=40 und einer Sicherheitswahrscheinlichkeit: 95%, auf der x-Achse steht ein p und auf der y-Achse steht ein h.

Answer 1

Sei \(X\) eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0,3 und 40 Wiederholungen.

Dann ist \(P(X\leq 21) =\sum_{i=0}^{21} \begin{pmatrix}40\\i\end{pmatrix}\cdot 0.3^i\cdot (1-0.3)^{40-i}\approx0.999146\)

Comments

Wie könnte man jetzt diese Ergebnis interpretieren?

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Das Statistische Bundesamt redet Müll oder die Zufallsstichprobe war gar nicht so zufällig oder es ist etwas eingetretet, was seltener als in 0,1854 % aller Fälle eintritt.

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Danke, würde es noch ein leichteren Weg geben, als du den oben genommen hast?

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Ich weiß nicht was du mit "leicht" meinst. Für mich liegen hinter der Gleichung, die ich angegeben habe, zwei sehr einfache Ideen, nähmlich Baumdiagramme und Binomialkoeffizient.

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Oswald hat mit der kumulierten Binomialverteilung gerechnet. Das ist mit Abstand der leichteste Weg.

Ein Schwierigerer Weg wäre ein Konfidenzintervall zu berechnen in dem 99% der Werte liegen. 

Letzterer Weg würde häufig in der Schule gemacht werden, wenn die Lehrer keine so große Ahnung haben. Wie oswald und ich gerechnet haben ist deutlich einfacher.

Answer 2

Ich errechne den P-Wert. Der P-Wert beschreibt die Wahrscheinlichkeit das dieses oder ein noch ungünstigeres Ereignis eintritt.

https://de.wikipedia.org/wiki/P-Wert

∑ (x = 22 bis 40) (COMB(40, x)·0.3^x·0.7^{40 - x}) = 0.085%

Die Wahrscheinlichkeit liegt also weit unter 1% das dieses oder ein noch unwahrscheinlicheres Ergebnis auftritt. 

Wir haben es hier also mit einer hoch signifikanten Abweichung zu tun.

https://de.wikipedia.org/wiki/Statistische_Signifikanz

Das Ergebnis ist also nicht mit den Daten des statistischen Bundesamtes verträglich.