Zerlegen: Ausdrücke in Faktoren. Bsp: 3a² - 8a - 3

Question

Ich habe ein Problem beim Lösen von einem Ausdruck.

Mein Ausdruck ist:  3a² - 8a - 3

Das Ergebnis ist aber: (3a+1)(a-3)

Vom Ergebnis zum Ausdruck komme ich durch das Ausmultiplizieren von beiden Klammern.

Aber wie geht der umgekehrter weg??

Und wie heisst er mathematisch?

Danke für jeden Tipp.

Answer 1

3a² - 8a - 3 ------> (3a+1)(a-3) nennt man faktorisieren.

Da gibt es bei dieser Aufgabe 1 Möglichkeiten

1. Geschickt raten mit Ansatz

3a^2 in 2 Faktoren zerlegen
(3a          )(a           )        |wegen - bei 3 muss ein Zeichen - und das andere + sein.

3 in 2 Faktoren zerlegen
(3a         1 )(a           3)           oder :

(3a         3 )(a           1)

beide Rechnungen mit + und - ausrechnen und schauen mit welcher Variante -8a auch noch passt.

2. 3a² - 8a - 3 = 0 mit Formel für quadratische Gleichungen auflösen

a= 1/6 ( 8 ± √(64 + 36)) = 1/6 (8 ± 10)

a1 = 18/6 = 3

a2 = -2/6 = -1/3

Daher 3a² - 8a - 3 = k (a -3)(a + 1/3)

Faktor k ist noch zu bestimmen. Wegen 3a^2 muss k=3 sein.

3a² - 8a - 3 = 3(a-3)(a+1/3)

Jetzt lässt sich 3 noch mit dem 2. Faktor verrechnen.

3a² - 8a - 3 = (a-3)(3a+1)

Nachtrag:

Beide Verfahren sehen komplizierter aus als sie sind. Du musst das ein paar Mal gemacht haben.

Schau deine Aufgabe nochmals genau an. Vielleicht hat du irgendwo zu viel ausmultipliziert. Wenn (a-3) oder (3a+1) irgendwann schon 2 mal dastehen, bist du mit Ausklammern direkter als mit Ausmultiplizieren.

Comments

danke für die Antwort.

Soweit ich mich erinnere, kann man mit der p-q Formel das selbe errechnen wie mit der abc.

P-Q Formel ist mir dabei geläufiger.

Könntest du das mit der P-Q Formel vorrechnen?

danke

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Dafür darf von a^2 keine 3 stehen.

3a² - 8a - 3 = 0     |:3

a^2 - 8/3 a - 1 = 0

p = -8/3 und q = -1 einsetzen in die Formel auf der ersten Seite im Gratisvideo/Material:

https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung

x1,2 = 4/3 ± √(16/9 + 1) = 4/3 ± √(25/9) = 4/3 ± 5/3

x1 = 3

x2 = -1/3

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danke danke, habs ausgerechnet,

aber nach welcher regel setze ich nun diese 2 nullstellen in die klammer?
ich hab einmal : x1 = 3
                              x2 = -1/3
nach welcher Regel setzt man sie nun in die Klammer mit der variable a

damit wir sowas haben: (3a+1)(a-3)

ich hänge jetzt ans a einfach mal die beiden Ergebnisse:

(a+3)(a-1/3) aber das scheint mir irgendwie blödsinnig zusein
nach welcher Regel kriege ich die beiden Ergebnisse korrekt in die Klammer??

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Da kann ich mich nur wiederholen.

Daher 3a² - 8a - 3 = k (a -3)(a + 1/3)  

Wenn man für a eine 3 oder eine -1/3 einsetzt, ist das Produkt und somit das Resultat 0. Nun muss noch der konstante Faktor angepasst werden:

Faktor k ist noch zu bestimmen. Wegen 3a² muss k=3 sein.

3a² - 8a - 3 = 3(a-3)(a+1/3)

Jetzt lässt sich 3 noch mit dem 2. Faktor verrechnen.

3a² - 8a - 3 = (a-3)(3a+1)

Illustration für das k: Je grösser das k desto enger die Öffnung der Parabel

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vielen vielen Danke, mir ist noch eine kleine Frage entstanden und zwar heisst es:

 

Faktor k ist noch zu bestimmen. Wegen 3a muss k=3 sein.

3a² - 8a - 3 = 3(a-3)(a+1/3)

1.nach welcher Formel werden hier die Vorzeichen gehandhabt?

ich habe eigentlich die einzusetzenden werte: +3 und -1/3

Nach dem einsetzen bei der Variable mit dem höhsten Exponenten (ist das die Regel?), hätte ich da eignetlich:

(a+3)(a-1/3), aber es ist das Gegenteil, wodurch ändern sich die Vorzeichen?

Ich kenne diese Vorgehensweise nicht, daher die Fragen....

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Da muss ich mich nochmals wiederholen.

Wenn man für a eine 3 oder eine -1/3 einsetzt, ist das Produkt und somit das Resultat 0. 

3a² - 8a - 3 = k (a -3)(a + 1/3)  

Das bedeutet, die Vorzeichen sind entgegengesetzt zu dem, was man erwarten würde, da es sich bei a1 = 3 und a2 = -1/3 ja um Werte von a handelt und nicht um die Zahlen daneben.

Dass du dieses Vorgehen nicht kennst, ist eigentlich normal. Das kommt eigentlich erst bei den Nullstellen von Polynomen zur Sprache, wenn überhaupt. Sollte es sich um eine Schulaufgabe handeln, musst du schauen, ob du die Rechnung nicht so machen kannst, dass du gar nie (a-3) oder (3a+1) 'zerstörst' oder ob ihr systematisches Raten gelernt habt.

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aaahh vielen Dank.

Zitat: Das bedeutet, die Vorzeichen sind entgegengesetzt zu dem, was man erwarten würde.

Genau da war ich mir nicht sicher, danke für die Bestätigung.

Answer 2

Man kommt zu einer Lösung über Nullstellensuche

3a² - 8a - 3 = 0

Nullstellen findet man hier über die abc-Formel bei

a = - 1/3 ∨ a = 3

Daher kann ich das ganze auch schreiben als

3(a + 1/3)(a - 3)

Wenn mir der Bruch nicht gefällt, kann ich jetzt den Faktor 3 in die erste Klammer holen

(3a + 1)(a - 3)

Damit bin ich fertig.

Comments

Nehmen wir mal an du hast den Term

ax^2 + bx + c mit den gefundenen Nullstellen u und v

dann sieht die faktorisierte Form wie folgt aus

a(x - u)(x - v)

Also der Term vor dem x^2 kommt nachher vor die Klammer und in die Klammern kommen die Nullstellen mit umgekehrtem Vorzeichen

Bei 3a² - 8a - 3 kommt die 3 vor dem a^2 vor die Klammern

3(a - ...)(a - ...)

und jetzt werden in die Klammern noch die Nullstellen eingetragen

3(a - (-1/3))(a - 3) = 3(a + 1/3)(a - 3) = (3a + 1)(a - 3)

Fertig.

Answer 3

3a^2 - 8a - 3 = (3a+1)(a-3). Vom Ergebnis zum Ausdruck komme ich durch das Ausmultiplizieren von beiden Klammern. Aber wie geht der umgekehrte Weg? Und wie heisst er mathematisch?

Hi, da das Faktorisieren (so heißt diese Umformung) quadratischer Terme ebenso wie die Wurzelrechnung im Ablauf des Mathematikunterrichts für gewöhnlich bereits behandelt worden ist, bevor zum ersten Mal von quadratischen Gleichungen die Rede ist, ist der folgende Weg möglicherweise angemessener. Er beruht im wesentlichen auf dem quadratischen Ergänzen, den binomischen Formeln und ein wenig Wurzelrechnung:

Kann man diesen Weg verteidigen, dürfte das auch den nachhaltigsten Eindruck beim Lehrer hinterlassen...

Answer 4

Manchmal muss es schnell
gehen, dann rechne ich so: