Wie kann man die 1.Ableitung von Brüchen bestimmen?

Question

wie kann man die Ableitung von z.B. der Funktion f(x)= 1/x  herleiten? 

Comments

Z.B. mit dem Differenzenquotienten.

Answer 1

Hallo Alpi,

das macht man mit der Quotientenregel:   [ u / v ] ' = ( u' • v - u • v' ) / v² 

→  [ 1/ x ] ' = ( 0 • x - 1 • 1 ) / x²  = -1 / x²

In diesem Beispiel geht aber auch die Potenzregel:  [ xⁿ ] ' = n • x^n-1

[ 1 / x ] '  = [ x^-1 ] '  =  (-1) • x^-2 = -1 / x²

Gruß Wolfgang

Comments

Wie ist wenn ein x im Zähler steht, leitet man immer den Zähler ab ? 

z.B.   x²/4 = 2 * x/4 = 0,5x

oder  x³/x²= 3 * x²/x² 

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abgesehen davon, dass du in der letzten Zeile vor dem Ableiten kürzen kannst, hast du die Quotientenregel nicht angewendet.

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f(x) = x³/x² = 

x²/x = [u/v]

= 2x * x - x² * 1 /x²

= 2x² - x² /x² 

= x²/x² 

So ? :/ 

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x^3/x^2 würdest du kürzen zu x bevor du ableitest.

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Achso ja danke! Jetzt hab ich es. Bin gerade absolut durcheinander gekommen durch die beiden Möglichkeiten es abzuleiten ;)

Answer 2

mit der Quotientenregel

y ' =(u ' v -u v')/v^2

u=1  ; u'=0

v=x  : v '=1

-->

y '= (0*x -1*1)/x^2

y '= -1/x^2

Answer 3

Generell hilft bei Brüchen wie richtig bemerkt die Quotientenregel. Bei einfachen Brüchen wie 1/x kann man aber auch den Bruch einfach als Potenz schreiben

f(x) = 1/x = x^{-1}

Dann gans normal über Potenzregel ableiten

f'(x) = - x^{-2}

Jetzt kann man die Potenz wieder als Bruch schreiben

f'(x) = - x^{-2} = - 1/x^2

Comments

Eigentlich hatte Wolfgang das schon erwähnt. Ich fand aber es ging als Einzeiler etwas unter und dafür ist es bei solch einfachen Brüchen zu wichtig. 1/x würde also kaum jemand mit der Quotientenregel ableiten.