lineare Abhängigkeit von 4 Matrizen

Question

Hi,

ich bins mal wieder, sorry für die vielen Fragen :/

Ich habe folgende Matrizen gegeben und soll auf lineare Unabhänigkeit prüfen:

$$A1=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix},\quad A2=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix},\quad A3=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\quad A4=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$

Mit Hilfe von Gauß-Jordan komme ich auf folgendes Ergebnis:

$$ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 7 \end{matrix} $$

Falls das Ergebnis stimmt: Was bedeutet das jetzt genau in Sachen Rang und lineare Abhängigkeit?

Vielen Dank

Answer 1

Der Rang deiner 4x4-Matrix ist kleiner als 4. Du hast ja eine Nullzeile.

D.h., wenn du richtig gerechnet hast, sind die gegebenen Matrizen nicht linear unabhängig.

Comments

ok, dazu noch folgende Fragen:
1. Darf ich beim Gauß-Verfahren Zeilen miteinander vertauschen?
2. Mein Rang wäre jetzt 3, richtig?
3. Durch meinen Rang könnte ich jetzt sagen, dass die Matrizen nicht linear unabhängig sind, sprich sie sind linear abhängig?

---

1. Darf ich beim Gauß-Verfahren Zeilen miteinander vertauschen? 

Wenn du nur den Rang bestimmen willst, darfst du Zeilen und Spalten vertauschen. Beim Gauss-Verfahren musst du die genauen Regeln beachten.
2. Mein Rang wäre jetzt 3, richtig? 

Ja
3. Durch meinen Rang könnte ich jetzt sagen, dass die Matrizen nicht linear unabhängig sind, sprich sie sind linear abhängig?

Richtig. Wenn du richtig gerechnet hast.

---

Ich denke, bei deiner Endmatrix müssen unten 4 Nullen stehen, der Rang ist also 2

Das ändert aber nichts an der linearen Abhängigkeit

---

ok, super :)

Wenn wir schon bei diesem Thema sind, hätte ich aufbauend auf dieser Aufgabe noch zwei weitere, die mir nicht klar sind. Also ich weiß gerade nicht was zu tun ist :/

1. Ich soll angeben, welche Dimension V=<A1,A2,A3,A4> als Untervektorraum hat

2. eine Basis zu V angeben

Entschuldigt bitte für die eventuellen sehr dummen Fragen :/

---

Wenn der Rang wirklich 2 ist, ist die Dimension = 2

und je 2 linear unabhängige bilden eine Basis.

---

Mal angenommen, der Rang ist 2.

b) Dann ist die Dimension bei b) auch 2. 

c) A3 und A4 sind wegen der 0 an nur einer Stelle offensichtilch linear unabhängig. Daher bilden sie eine Basis des aufgespannten UVR.

Das Ganze kannst du nun prüfen: Du müsstest sowohl A1 = x*A3 + y*A4

als auch A2 = r*A3 + s* A4

eindeutig nach x,y,r und s auflösen können.

---

wow, danke :)

habe x,y,r,s jetzt errechnet. Gibt es dafür jetzt noch eine bestimmte Schreibweise, wie das Ergebnis, also die Basis von V, zu definieren ist?

x = 2, y = -1, r = 2, s = -2

---

Schreibe einfach

Eine Basis ist deshalb

B = { A3, A4}

---

super, danke euch für die Hilfe :)