Lineare Abhängigkeit von Funktionen 3. Grads

Question

Ich hab Schwierigkeiten die Aufgaben 5.5 und 5.6 zu lösen, kann mir vielleicht jemand hier weiterhelfen?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Text erkannt:

Aufgabe 5.5: Es ist \( V:=\{p \mid p: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) Polynom vom Grad \( \leq 3\} \) mit der Addition
\( (p+q)(x)=p(x)+q(x) \)
und der skalaren Multiplikation
\( (\lambda \cdot p)(x)=\lambda p(x) \)
ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum.
a) Sind die Polynome \( (x+1)^{3},(x-1)^{3} \) und \( 3 x^{2}+1 \) linear unabhängig? Begründen Sie!
b) Geben Sie eine Basis für \( V \) an und weisen Sie nach, daß dies tatsächlich eine solche ist.
Aufgabe 5.6: Die Funktionen \( \sin (x), \cos (x) \) und \( \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \) sind auf \( [0,1] \) definiert und stetig. Also sind dies Vektoren des \( \mathbb{R} \)-Vektorraumes \( C[0,1] \). Sind sie linear unabhängig? Begründen Sie!

Ansatz bzw. soweit wie ich es verstanden habe:

Ich weiß bereits das

a1 * f1(x) + a2 * f2(x) + a3 * f3(x) = 0

sein muss, sodass die Funktion 1,2,3

linear abhängig sein, es darf auch nicht sein das a1,a2,a3 = 0 sind, sonst wäre die Gleichung richtig, aber da das die triviale Lösung ist, wären die Funktion deswegen linear unabhängig....

Answer 1

Betrachte die Koordinatenabbildung der Polynome mit standard Polynombasis. Dann musst du einfach die lineare Unabhängigkeit von den Vektoren untersuchen, denn eine Koordinatenabbildung ist ein Isomorphimus und erhält somit die lineare Unabhängigkeit.

Comments

Danke für die schnelle Antwort, allerdings verstehe ich es nicht ganz. Da ich eigentlich die lineare Abhängigkeit in 5.5a) ohne diese Funktionen in Vektoren umzurechnen, ermittelt soll.

Was wäre auch der Ansatz für die 5.5b) und 5.6?