Unterräume, Basis und Dimension bestimmen

Question

Ich bin gerade dran eine Aufgabe zu lösen bei der man zuerst bestimmen muss ob es ein Unterraum des ℝ-Vektorraums M₂(ℝ) ist und falls ja muss man die Basis und die Dimension bestimmen.

Bei 2 Teilaufgaben bin ich mir nicht so sicher.

1) W2 = { 2x2-Matrix: ( a , a+b ; a+b , b) | a,b∈ℝ }

W2 ist ein Unterraum, die Frage ist nun wie ich eine Basis bestimmen kann und die Dimension. Ich habe mit dem Gauss Eliminationsverfahren zuerst die erste Zeile mit 1/a multipliziert und dann (a+b)-mal die erste Zeile von der Zweiten abgezogen. Damit bekomme ich eine Dreiecksmatrix: ( 1 , (a+b)/a ; 0 , ((a+b)*(a+b))/a ). Eine Basis besteht also z.B aus den Vektoren: (1 ; 0) und ( (a+b)/a ; ((a+b)*(a+b))/a ) und die Dimension von W2 somit 2. Ist das so richtig?

2) W4 = { A∈M₂(ℝ) | A^t = -A }

Damit die Matrix A^t = -A sein kann muss es die Nullmatrix (0 , 0 ; 0 , 0) sein. Eine Basis dieser 2x2-Nullmatrix ist z.B. B={ (1 ; 0) , (0 , 1) }

Ist diese Basis richtig und was ist dann die Dimension? 2?

Ich hoffe es kann mir jemand dabei weiterhelfen,

Gruss

Comments

(1)  Eine Basis sollte \(2\times2\)-Matrizen enthalten. Eine Matrix \(M\in W_2\) hat typischerweise die Gestalt \(M=a\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\) mit reellen \(a,b\).

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Oh vielen Dank ich hab das eben erst mit Vektoren gemacht und nicht mit Matrizen. Das heisst Eine Basis von W2 besteht aus diesen 2 Matrizen? Und dann ist die Dimension 2?

Und beim W4 besteht eine Basis aus der Matrix (0 , -1 ; 1 , 0) ? Und dim(W4)=1 ?

Answer 1

Zu 1)

$$\begin{pmatrix}a&a+b\\ a+b&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a\\ a&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&b\\ b&b\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&1\\ 1&0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\ 1&1\end{pmatrix}$$

Zu 2)

$$A=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$$

Comments

Oh vielen Dank ich hab das eben erst mit Vektoren gemacht und nicht mit Matrizen. Das heisst Eine Basis von W2 besteht aus diesen 2 Matrizen? Und dann ist die Dimension 2?

Und beim W4 besteht eine Basis aus der Matrix (0 , -1 ; 1 , 0) ? Und dim(W4)=1 ?

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Was heisst hier mit Vektoren und nicht mit Matrizen gemacht? Der Vektorraum besteht aus 2x2-Matrizen und eine Basis ist immer eine (geordnete) Teilmenge des Vektorraums. Beim Rest liegst Du inzwischen richtig.