Definition des Integrals analog zur Definition der Ableitung

Question

Hallo. In Anlehnung an eine andere Frage hier habe ich selber eine Frage bezüglich der Definition.

Die Ableitung nach der h-Methode ist ja wie folgt definiert:

f'(x) = lim (h --> 0) (f(x + h) - f(x))/h

Könnte man dazu auch analog das Integral wie folgt definieren:

∫ (a bis b) f(x) dx = lim (n --> ∞) Σ (i = 0 bis n - 1) (f(a + i/n·(b - a))·(b - a)/n)

In Büchern ist das natürlich immer etwas aufwendiger über die Gleichheit von Ober- und Untersumme gemacht. Ich gehe hier ja eigentlich nicht über die Ober- bzw. Untersumme. Damit habe ich dann keine handfeste Herleitung gemacht. Aber unter der Voraussetzung, dass man weiß das Ober und Untersumme gleich sind könnte man es doch auch etwas einfacher wie oben ausdrücken oder?

Answer 1

Als Ergaenzung zur ersten Antwort: Wenn Du schon weisst, dass f (Riemann-)integrierbar ist, dann kannst Du das Integral immer so ausrechnen. Deshalb koenntest Du etwa für stetiges f Deine Gleichung tatsaechlich zur Definition erheben. Man sieht das aber ohne die volle Theorie nicht recht ein.

Als Gegenbeispiel dafuer, dass Deine Gleichung nicht als allgemeine Definition taugt, kannst Du die Dirichlet-Funktion auf [0,1] nehmen.

Comments

Vielen dank auch für deine Antwort. Es soll ja eine Definition für Schüler sein. Damit sie wissen wie sie das Integral auch näherungsweise als Summe berechnen können. Also sollte ich nur die Bedingung dazu schreiben, dass die Funktion f(x) im Intervall von a bis b stetig sein soll.

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Ja, dann kannst Du es so verkaufen. (Stueckweise stetig und beschraenkt reicht auch.)

So sieht es noch schoener aus: $$\int_a^b f(x)\,dx:=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x.$$ Aus dem Summenzeichen \(\sum\) wird das Integralzeichen \(\int\) (ein stilisiertes S für Summe, bitteschoen!) und \(\Delta x\) "schrumpft" zu \(dx\).

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Ja. So hab ich das auch auf einigen Seiten gefunden. Aber nach der Formel können die Schüler ja selber nicht vorgehen. Sie wissen ja nicht wie sie auf xk kommen :-(

Ich könnte aber schreiben:

Δx = (b - a)/n

∫ (a bis b) f(x) dx = lim (n --> ∞) Σ (i = 0 bis n - 1) (f(a + i·Δx)·Δx) 

das xi ist jetzt eigentlich a + i·Δx.

Aber ich denke, dass würde so schon langen. Dann noch eine oder zwei Übungsaufgaben dazu und dann wissen sie wie sie es von Hand annähern können.

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Du zerlegst das Integrationsintervall in \(n\) gleichlange Teile: \([a,b]=I_1\cup\cdots\cup I_n\) mit \(I_k=[a+(k-1)\Delta x, a+k\Delta x]\) bei \(\Delta x=(b-a)/n\) und \(k=1,2,\ldots n\). Es ist \(x_k\in I_k\) voellig beliebig. Da muss man auf nix kommen, weil immer dasselbe rauskommt. Das ist natuerlich auch eine Pointe, die man erst einsieht, wenn man die ungekuerzte Theorie hat.

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" Als Gegenbeispiel dafuer, dass Deine Gleichung nicht als allgemeine Definition taugt, kannst Du die Dirichlet-Funktion auf [0,1] nehmen."

Die ist allerdings auch nicht Riemann-integrierbar.

Answer 2

Du machst das ja dann immer nur mir äquidistanten Unterteilungen.

Das ist keine volle Riemann-Intergrierbarkeit. Denn dort existiert ja bei

jeder ausgezeichneten Zerlegungsfolge ein gemeinsamer Gw. von Ober- und

Untersumme.

Comments

Ja ich weiß. Eigentlich soll das ganze nur eine kurze Definition für die Schüler sein, damit die sich unter dem bestimmten Integral etwas vorstellen können. Und sie sollten auch wissen wie man es grundsätzlich über eine Summe annähern könnte.

Hättest du eine Idee, wie ich das eventuell besser machen kann ohne es wesentlich schwieriger zu machen?

Angelehnt ist meine äquidistante Anlehnung ja nach den Rechnungen in den Schulbüchern oder auf Internetseiten:

http://matheguru.com/analysis/integralrechnung/11-riemann-integral.html

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Vielleicht kann man es ja etwas relativieren und sagen:

Um sich vorzustellen wie das mit einem Integral funktioniert

genügt die folgende Definition....

Es gibt allerdings Funktionen ( die etwa in der Schule eh nicht

betrachtet werden) für die muss man es etwas aufwändiger

betrachten.