Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal?

Question

Gegebene Funktion:

f(x)=1/12(x³-12x²+36x)

Aufgabe:

An den Graphen von f wird im Punkt (u | f(u)) mit  2 < u < 6 die Tangente t_p gelegt. Diese Tangente schneidet die y-Achse im Punkt Q. Der Ursprung O bildet mit den Punkten P und Q ein Dreieck.

Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal?

Ich weiß,dass u ≈ 4.5 oder u = 4.5 ist. Allerdings bräuchte ich den Rechenweg dazu, wie man es ohne GeoGebra löst.

Comments

ohne die Funktionsgleichung ist Hilfe schwierig.

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f(x) = 1/12·x·(x-6)²

Answer 1

F-gleichung gefunden: f(x)=1/12(x³-12x²+36x)

Tangente in (u;v) hat die Steig. f ' (u) = u^2/4 - 2u + 3

und mit y = ( u^2/4 - 2u + 3) * x + n    und  Punkt ( u ; 1/12(u³-12u²+36u)

bekomme ich n = u^2(6 - u) / 6

also Tangente

y = ( u^2/4 - 2u + 3) * x + u^2(6 - u) / 6

Q ( 0 ; u^2(6 - u) / 6)

Das Dreieck also

A(u) = u* u^2(6 - u) / 12

A ' (u) = - u^2 * ( 2u - 9 ) / 6

Und das ist 0 für u = 4,5

Comments

Danke für die Antwort. Ich verstehe allerdings nicht, wie du auf "n = u²(6 - u) / 6" gekommen bist.

Und wie bist du auf die Rechnung zur Berechnung der Fläche des Dreiecks

"A(u) = u* u²(6 - u) / 12 

A ' (u) = - u² * ( 2u - 9 ) / 6" gekommen? 

 

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Danke für die Antwort. Ich verstehe allerdings nicht, wie du auf "n = u²(6 - u) / 6" gekommen bist.

Und wie bist du auf die Rechnung zur Berechnung der Fläche des Dreiecks

"A(u) = u* u²(6 - u) / 12

Das Dreieck hat auf der y-Achse eine Seite der Länge u²(6 - u) / 6,

weil das der y-Achsenabschnitt der Tangente ist.

Die zugehörige Höhe ist genau das u.

Nach der Formel A = 0,5 * g * h gibt das
u* u²(6 - u) / 12

= (6u^3 - u^4 ) / 12

also A ' = (18u^2 - 4u^3 ) / 12 = (9u^2 - 2u^3) / 6

oder eben:

A ' (u) = - u² * ( 2u - 9 ) / 6" gekommen?

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Das Dreieck hat auf der y-Achse eine Seite der Länge u²(6 - u) / 6,

weil das der y-Achsenabschnitt der Tangente ist.

Das Einzige, was ich jetzt noch nicht verstanden habe, ist, warum u²(6 - u) / 6 gleich die Länge des Dreiecks auf der y-Achse ergibt. Besser gesagt, ich kann mir nichts unter einem "y-Achsenabschnitt der Tangente" vorstellen. Also ich weiß, dass die Tangente die y-Achse schneidet...

Ich hoffe, du verstehst, was ich meine. 

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Also ich weiß, dass die Tangente die y-Achse schneidet...

Und das Stück zwischen Nullpunkt und diesem Schnittpunkt ist der

y-Achsenabschnitt der Tangente.

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Wie genau kommt man denn auf u²(6 - u) / 6?

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Wenn man eine Geradengleichung in der Form

y = m*x + n hat, ist n der y-Achsenabschnitt.

Hier ist die Geradengleichung der Tangente

y = ( u²/4 - 2u + 3) * x + u²(6 - u) / 6

Kannst ja auch so überlegen:

Wenn du für x=0 einsetzt, kommt

u²(6 - u) / 6 heraus, also ist das

der y-Achsenabschnitt.

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Ja, aber warum ist n=u²(6 - u) / 6? Ich weiß, wo n liegt und was n ist. Aber wie hast du das ausgerechnet? Oder wie bist du auf die Tangentengleichung gekommen? 

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Also n entspricht ja der Tangentengleichung, so wie ich das jetzt verstanden habe. Aber ich weiß nun mal nicht, wie du auf die gekommen bist. Du hast ja schon bei der ersten Antwort geschrieben:

mit y = ( u²/4 - 2u + 3) * x + n    und  Punkt ( u ; 1/12(u³-12u²+36u)

bekomme ich n = u²(6 - u) / 6 

also Tangente