Komplexe Lösung der Gleichung (z+1)^3=-2+2i berechnen

Question

Hi,

ich habe die Gleichung: (z+1)^3=-2+2i und möchte die Komplexen Lösungen bestimmen.

Wie ist das Vorgehen bei dieser Aufgabe?

Wäre es die Form (8+8i)^21 oder die Form z^2 = 2+i, dann wäre mir klar was gefordert ist, hier stehe ich aber etwas auf dem Schlauch...

Für jede Hilfe bin ich dankbar!

Comments

Das ist ein Verallgemeinerung dieser Fragestellung:  z² = 2+i .

Versuche es mit den Formeln hier, wenn du noch keine Beispiele in deinen Unterlagen findest:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

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Ich war etwas verwirrt, da ich anfangs nicht wusste, dass man auch die Wurzel von diesem Ausdruck (z+1)^3 ziehen kann. Bisher waren mir nur Aufgaben in der Form z^x bekannt. 
Aber dann lässt sich Moivre wieder anwenden, mit dem Hinweis, dass man die + 1 auf die andere Seite bringt. 

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Ja genau. " , mit dem Hinweis, dass man die + 1 auf die andere Seite bringt.   " kommt erst am Schluss ins Spiel. 

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Mir gefällt da die Lösung von Grosserloewe mit der Substitution. Genau so ist es perfekt!

Answer 1

(z+1)^3=-2+2i rechte Seite in Exponentialform bringen

(z+1)^3=√8*e^{i*3*π/4} dritten Wurzeln ziehen

i) z+1=√2*e^{i*π/4}

ii) z+1=√2*e^{i*11π/12}

iii) z+1=√2*e^{i*19π/12}

zuletzt kannst du die 1 rüberbringen und eventuell noch in die kartesische Form umwandeln wenn du möchtest

Comments

Ah okay, also Formel von Moivre nutzen und anwenden.

Deine Rechnung ist nachvollziehbar!

D.h wie Lu schon eingangs erwähnte, ist (z+1)^3 eine andere Darstellung für (z)^3 //nur eben + 1 auf die andere Seite bringen.

Answer 2

Komplexe Lösung der Gleichung (z+1)³=-2+2i berechnen

Meine Berechnung:

Comments

Danke auch für deine Lösung Grosserloewe!

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Ich habs gerade nochmal nachgerechnet, kann es sein, dass dort ein kleiner Dreher drin ist.

Für z0 komme ich auch auf: 1+j bzw: z+1=1+j --> z = j

Für z1 komme ich auf: -1,36+0,36j bzw. z+1=-1,36+0,36j --> -2,36+0,36j (Da ja 1,414*cos(11pi/12))

Für z2: 0,36-1,36j bzw: z+1=0,36-1,36j --> -0,36-1,36j (Da hier 19pi/12)

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Ich komme immer wieder auf mein Ergebnis

:-)