Ganzrationale Funktionsscharen mit Parameter. fa(x)=x^3+(a/2)x^2+(a+1)x

Question

Für jede Zahl a Element aus R ist durch fa(x)=x^3+(a/2)x^2+(a+1)x  eine Funktion fa Schaubild Ka gegeben. Für welche a-Werte schneiden Ka

die 2. WInkelhalbierende y = -x dreimal, zweimal,einmal ?

Comments

" Für welche a-Werte schneiden Ka

die 2. WInkelhalbierende g(x)  = -x dreimal, zweimal,einmal ? "

ist dasselbe wie

" Für welche a-Werte schneiden das Schaubild von fa(x) - g(x)

die x-Achse dreimal, zweimal,einmal ? "

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Vielen Dank für die Antwort!

Aber wie komme ich auf eine eindeutige Lösung, mit dem Parameter a?

Answer 1

x³+(a/2)x²+(a+1)x  = -x

x³+(a/2)x²+(a+2)x  =  0

eine Lösung gibt es immer   x=0

Um mehr Lösungen zu haben muss  gelten

x²+(a/2)x+(a+2) =  0

Das ist eine quadr. Gleichung und die hat die Lösungen

x = -a/4 ± √ ( a^2/16  - a - 2 )

Das hat  Ergebnis , wenn   a^2/16  - a - 2 ≥ 0

Also eine Lösung für a^2/16  - a - 2= 0

das gibt a^2 - 16a - 32 = 0

a = 8 ± √ (64 + 32)

für diese beiden Werte gibt es also eine weitere Lösung

und du hast in deiner geforderten Aufgabe genau 2 Schnittpunkte

wenn  a^2/16  - a - 2  > 0 ist gibt es hier zwei weitere Lösungen

also insgesamt 3 Schnittpunkte.

Das ist für a < 8 - √ 96 oder für a >  8  + √ 96

Für a zwischen 8 - √ 96   und  8 + √ 96 hat die quad. Gleichung

keine Lösung. Also gibt es nur den einen Schnittpunkt bei x=0.

Comments

Vielen Lieben Dank für diese ausführliche Antwort!
Aber wie kommst du auf (a+2) müsste es nicht (a+1) heißen?

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Du musst das -x von der rechten Seite rüber bringen,

damit da = 0 steht.

Answer 2

x³+(a/2)x²+(a+1)x = -x

x³+(a/2)x²+(a+2)x = 0

x · ( x²+(a/2)x+(a+2) ) = 0

x = 0  oder  x² + (a/2) x+ (a+2) = 0   →  mindestens 1 Schnittstelle bei x=0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = a/2  ; q = a+2

x_2,3 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)   falls Radikand ≥ 0

x = (√(a² - 16·a - 32) - a) / 4  oder    x = - (√(a² - 16·a - 32) + a) / 4 

1 weitere Lösung für a² - 16·a - 32 = 0  (wieder mit pq-Formel lösen)

                also 2 Schnittstellen  für  a = 8 - 4·√6  oder  a = 4·√6 + 8 

2 weitere Lösungen für  a² - 16·a - 32 > 0 ,

                 also 3 Schnittstellen  für a< 8 - 4·√6  oder  a >  4·√6 + 8 

keine weitere Lösung für a² - 16·a - 32 < 0 ,

                 also 1 Schnittstelle  für 8 - 4·√6 < a <  4·√6 + 8 

Gruß Wolfgang

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Vielen Lieben Dank!

Kann man das auch mithilfe der Mitternachtsformel lösen?

LG

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Ja sicher.

Betrachte den Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformen (= die Diskriminante D = b^2 - 4ac) . Nenne das a in der Aufgabe aber irgendwie anders (z.B. u), damit es kein Durcheinander gibt beim Einsetzen.