Welche der folgenden Zahlen kann die Einerziffer (unit digit) von 57^n sein?

Question

Welche der folgenden Zahlen kann die unit digit von 57^n sein, wobei n eine positive ganzzahl ist.

Als Antwortzahlen stehen alle zwischen 0 und 9 zur verfügung und man soll alle möglichkeiten nennen.

An sich ist mir klar, dass man einfach ausprobieren kann wie zB 57^2, 57^3 und so weiter... Aber ich kann ja in der prüdung nicht 1000 möglichkeiten ausprobieren um sicher zu gehen, welche antwortmöglichkeiten ich eliminieren kann. Welche Lösungsvorschläge habt ihr um die Aufgabe möglichst zeitsparend zu lösen?

*unit digit = Das ist im Dezimalsystem die Einerziffer. Also die Ziffer mit dem Stellenwert 1.

Answer 1

Du brauchst hier zum Glück nur die Potenzen der Einerziffer also der 7 untersuchen.

7 --> 7
49 --> 9
343 --> 3
2401 --> 1

Ab dann wiederholt es sich. Die Einerziffer kann also 7, 9, 3 oder 1 sein. Man beachte das  1 + 9 = 10 und 3 + 7 = 10. Das ist aber nur das man sich das leicht merken kann.

Answer 2

Hi, rechne mal mal die letzten Ziffern der ersten  paar Potenzen von 7 aus, was vor der 7 steht ist irrelevant, was vor der letzten Ziffer der 7er-Potenzen steht auch.

Comments

Wegen 57^n = (60-3)^n genügt es offenbar auch,
die ersten Potenzen von -3 zu betrachten, also
(-3)^0 = 1,
(-3)^1 = -3 ≡ 7 (mod 10),
(-3)^2 = 9,
(-3)^3 = -27 ≡ 3 (mod 10)
und wegen (-3)^4 = 81 ≡ 1 (mod 10) hat die Periode
die Länge 4, so dass es keine anderen Ziffern an der
letzten Stelle geben kann.

Answer 3

Wegen der 7 am Schluss kannst du alle geraden Zahlen: 0,2,4,6,8 schon mal ausschliessen.

Auch eine 5 am Schluss ist nicht möglich, weil 57 den Faktor 5 nicht enthält.

Wenn du nun noch Potenzen von 57 mit den Einerziffern 1, 3, 7 und 9 effektiv findest, bist du sicher, dass du alle Möglichkeiten hast.