Allgemeine Lösung der DGL y'=8x^3 y + cos x e^{2x^4} bestimmen und die Lösung zur Anfangsbedingung y(pi/2)=0

Question

Hallo liebe Mathelounger,

also mein Problem ist Folgendes:

die allgemeine Lösung (y (allg)) der DGL habe ich bestimmen können.

DGL: y'=8x^3 y + cos x e^{2x^4}

Lösung: y allg= C * e^{2x^4} + sin x + C

Aber ich verstehe nicht wie ich jetzt weitermachen soll mit der Anfangsbedingung y(pi/2)=0

Damit wird wohl C ermittelt.

Die endgültige Lösung ist: y(x)=(sin x - 1) e^{2x^4}

Aber komme nicht darauf.

Liebe Grüße

Answer 1

deine partikuläre Lösung stimmt nicht:

homogene Gleichung:

y'=8x^3y

yhom=c*e^{2x^4} passt

partikuläre Lösung:

Inhomogenität: COS(x)*e^{2x^4}

8x^3 ist die innere Ableitung des e-terms

was da steht ist die Produktregel von sin(x)*e^{2x^4}

---> ypart=sin(x)*e^{2x^4}

y(x)=e^{2x^4}*(c+sin(x))

Jetzt die Anfangsbedingung einsetzen:

y(pi/2)=0=e^{.....} *(c+1)

---> c=-1

Comments

Hallo :)

vielen lieben Dank!

Liebe Grüße

Answer 2

Deine Lösung stimmt leider nicht. Das Ergebnis lautet:

y= e^{2 x^4}(sin(x)+C_1)

Wenn Du die AWB in die Lösung einsetzt:

0=e^{( Pi/4)/8}(sin(Pi/2)+C_1) und nach C_1 umstellt bekommst Du

C_1= - 1

dann mit der angegebenen Lösung.

Comments

hallo :o)

vielen Dank, aber wieso muss denn nicht das +C hinten dran?

LG

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Du setzt für  x= π/2  ein und für y= 0

damit erhältst Du C_1

Das C_1 setzt Du in die Lösung ein.

Du hast damit eine spezielle Lösung für die DGL mit AWB und brauchst kein +C hintendran mehr.