Lösen komplexer Gleichungen: 4z^2-4iz+1=0

Question

Lösen sie die Gleichung 4z²-4iz+1=0

Answer 1

4z^2 - 4*i*z + 1 = 0

z^2 - i*z + 1/4 = 0

p-q-Formel:
z1 = i/2 + √(-1/4 - 1/4) = i/2 + √(-1/2) = i/2 + i/√2

z2 = i/2 - √(-1/4 - 1/4) = i/2 - √(-1/2) = i/2 - i/√2

Answer 2

1 - 4iz + 4z^2 = 0   | :4

1/4 - iz + z^2 = 0   | -1/4

-iz + z^2 = -1/4   | Quadratische Ergänzung

-iz - 1/4 + z^2 = -1/2   | binomische Formeln

(-i/2 + z)^2 = -1/2   | Wurzel

-i/2 + z = ± i/√2   | + i/2

z = i/2 ± i/√2

Comments

Also gibt es mehrere Möglichkeiten, wie ich an das Ergebnis komme !

Kann ich im Prinzip mit komplexen Gleichungen so umgehen wie mit normalen ?

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Ich vermute: Ja. 

Denn letztlich ist i nur eine - für mich unvorstellbare - Zahl, nämlich √(-1).

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Die Vermutung stimmt nur teilweise.

Eine Gleichung wie e^z=1 ist im Komplexen nicht mehr eindeutig lösbar (der Logarithmus ist nicht mehr eindeutig).
Und auf keinen Fall kannst du i mit "der Wurzel aus -1" gleichsetzen. Die ist gar nicht definiert. Eine komplexe Quadratwurzel ist stets zweideutig (bis auf die der Null); daher muss man immer vorsichtig sein, wenn man eine komplexe Zahl unter eine Wurzel schreibt.

Die meisten anderen Gleichungsumformungen kann man aber wie aus dem Reellen gewohnt durchführen.

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Hi Ché! 

Ich bin Monoid, kennst du mich noch?

Und ich wollte auch noch mal sagen, dass i=Wurzel(-1) falsch(!) ist. Die Definition lautet: i^2 = -1. Diese Sachen sind nicht äquivalent!

 

gruß...