Wie bestimmt man die Lösungen komplexer Gleichungen?

Question

Hallo, ich möchte gerne wissen, wie ich die Lösungen der folgenden komplexen Gleichung bestimmen kann (im Bogenmaß):

1) z³-zi=0

2) z⁴+zi=0

3) z³-27i=0

Vielen Dank für eure Hilfe und Bemühungen.

Answer 1

1)z³-zi=0 oder z(z²-i)=0

Erste Lösung z₁=0. Für weitere Lösungen muss z²=(a+bi)²=i sein. Das ist für z_2/3=±\( \frac{1+i}{√2} \) der Fall.

Answer 2

1)

z^3 - z·i = 0
z·(z^2 - i) = 0
Satz vom Nullprodukt
z = 0 oder
z^2 = i --> z = ± (√2/2 + √2/2·i)

2)

z^4 + z·i = 0
z·(z^3 + i) = 0
Satz vom Nullprodukt
z = 0 oder
z^3 = - i --> z = - √3/2 - i/2 ∨ z = √3/2 - i/2 ∨ z = i

3)

z^3 - 27·i = 0
z^3 = 27·i --> z = z = - 3·√3/2 + 3·i/2 ∨ z = 3·√3/2 + 3·i/2 ∨ z = - 3·i

Gleichungen der Form
z^n = a + b·i
löse ich am liebsten in der Exponentialform.

Answer 3

\(z^3-z*i=0\)

\(z*(z^2-i)=0\)

\(z_1=0\)

\(z^2=i\)

1.) \(z_2=\sqrt{i}\)

\(\sqrt{i}=\sqrt{\frac{2i}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}*\sqrt{2i}=\frac{1}{\sqrt{2}}*\sqrt{i^2+2i+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}*\sqrt{(i+1)^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}*(i+1)\)

\(\sqrt{i}=\frac{1}{2}*\sqrt{2}*(i+1)\)

2.) \(z_3=-\sqrt{i}\)

Die Umwandlung ins Bogenmaß weiß ich nicht.