Laurentreihen komplexer Funktionen

Question

Aufgabe:

Wie lauten die Laurentreihen für folgende Funktionen

f(z)=1/(zsin(z))

f(z)=z/sin(z)

Wie lautet das Residuum?

Problem/Ansatz:

Wenn man die eine hat, kann man mit z^2 teilen oder multiplizieren und erhält die andere.

Das Residuum müsste bei beiden 0 sein, da es sich um gerade Funktionen handelt.

Answer 1

Ja, das siehst Du genau richtig.

\(\frac{z}{\sin z}\) gibt sogar eine Taylorreihe, denn die Funktion \(z\mapsto \frac{\sin z}z\) ist ja differenzierbar überall mit Funktionswert 1 in 0, also deren Kehrwert in der Umgebung von 0 genauso.

Comments

Kannst du vielleicht einmal eine Reihe explizit angeben, dann weiß man ja auch die andere und evtl. die Werte bis Ordnung 4, bitte?

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wolframalpha liefert

\(g(z)=\frac{z}{\sin z } = 1 + \frac{z^2}6 + \frac{7 z^4}{360} + \frac{31 z^6}{15120} + O(z^8)\)

Berechnen würde ich das rekursiv über die Gleichung \(g(z)\cdot \frac{\sin z}z=1\). Dann für \(\frac{\sin z}z\) die bekannte TR einsetzen und für \(g(z)\) eine unbekannte TR. Dann Koeffizientenvergleich (Cauchyprodukt).

Ist denn wirklich die Reihe gefragt? Zur Bestimmung des Residuums wäre das kompletter overkill, wie Du ja schon gemerkt hast.

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Also gewollt ist nur bis Grad +/- 4, weiß aber nicht wie ich da drauf komme, kannst du vielleicht nochmal erklären?

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"nochmal erklären" gibt dieselbe Erklärung wie oben. Folge der obigen Anleitung, wie weit kommst Du? Wo ist das Problem, konkret?

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Den Begriff "Cauchyprodukt" kannst Du auch ausblenden. Es geht um das Ausmultiplizieren in einem Produkt zweier Reihen. Wenn Du \((a+bx+cx^2)(d+ex+fx^2)\) ausmultiplizieren kannst - und vor allem siehst was passiert - hast Du die nötigen Grundlagen.

Dass Du nur bis Grad 4 rechnen sollst, deutet darauf hin, dass es so gemacht werden soll. Nächstes Mal bitte: frag nicht nach der LR, wenn die - aus gutem Grund - gar nicht in der Aufgabe gefragt ist.