Eine KI sagt dazu:
(a) Um diese Aufgabe zu lösen, können wir den Zentralen Grenzwertsatz anwenden. Zuerst berechnen wir den Erwartungswert und die Varianz eines einzelnen Sprungs:
Erwartungswert: μ = 2 * 0,6 + (-1) * 0,4 = 0,8
Varianz: σ² = (2² * 0,6 + (-1)² * 0,4) - 0,8² = 2,8 - 0,64 = 2,16
Nach 10.000 Sprüngen:
Erwartungswert: E(S₁₀₀₀₀) = 10000 * 0,8 = 8000
Standardabweichung: σ(S₁₀₀₀₀) = √(10000 * 2,16) ≈ 146,97
Nun können wir die standardisierte Zufallsvariable berechnen:
Z = (S₁₀₀₀₀ - 8000) / 146,97
Die Wahrscheinlichkeit, dass S₁₀₀₀₀ im Intervall [7700, 8090] liegt, entspricht:
P(7700 ≤ S₁₀₀₀₀ ≤ 8090) = P(-2,04 ≤ Z ≤ 0,61)
Mit der Standardnormalverteilung erhalten wir:
P(-2,04 ≤ Z ≤ 0,61) ≈ Φ(0,61) - Φ(-2,04) ≈ 0,7291 - 0,0207 ≈ 0,7084
Die approximative Wahrscheinlichkeit beträgt also etwa 70,84%.
(b) Für diese Aufgabe suchen wir c, sodass:
P(8000 - c ≤ S₁₀₀₀₀ ≤ 8000 + c) = 0,95
Dies entspricht:
P(-c/146,97 ≤ Z ≤ c/146,97) = 0,95
Aus der Standardnormalverteilung wissen wir, dass für P(-z ≤ Z ≤ z) = 0,95 gilt: z ≈ 1,96
Somit:
c/146,97 = 1,96
c = 1,96 * 146,97 ≈ 288,06
(c) Der Satz von Berry-Esseen gibt eine obere Schranke für den Approximationsfehler bei der Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes. Die Fehlerabschätzung lautet:
|F_n(x) - Φ(x)| ≤ C * ρ / (σ³√n)
Wobei:
F_n(x) die tatsächliche Verteilungsfunktion von S_n ist
Φ(x) die Standardnormalverteilung
C eine Konstante (≤ 0,4748)
ρ = E(|X - μ|³) das dritte zentrale Moment
σ die Standardabweichung eines einzelnen Sprungs
n die Anzahl der Sprünge
Wir müssen ρ berechnen:
ρ = 0,6 * |2 - 0,8|³ + 0,4 * |-1 - 0,8|³ = 0,6 * 1,2³ + 0,4 * 1,8³ ≈ 3,456
Nun können wir die obere Schranke berechnen:
Fehler ≤ 0,4748 * 3,456 / (√2,16³ * √10000) ≈ 0,0074
Dies bedeutet, dass der absolute Fehler in unseren Berechnungen nicht größer als 0,74 Prozentpunkte sein sollte.