Wahrscheinlichkeit approximativ bestimmen (Zentraler Grenzwertsatz)

Question

Aufgabe:

Ein Grashüpfer startet am Ursprung der Zahlengerade und hüpft mit Wahrscheinlichkeit p=0,6 um zwei Einheiten in die positive Richtung und mit Wahrscheinlichkeit 1-p=0,4 um eine Einheit in die negative Richtung. Hierbei sind die einzelnen Sprünge unabhängig.

S_n gebe die Position des Grashüpfers nach n Sprüngen an, n∈ℕ.

(a) Bestimmen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Tier nach 10.000 Sprüngen im Intervall [7700, 8090] befindet.

(b) Bestimmen Sie c>0 so, dass die approximative Wahrscheinlichkeit, dass der Grashüpfer nach 10.000 Sprüngen im Intervall [8000-c, 8000+c] landet, 95% beträgt.

(c) Geben Sie eine Fehlerabschätzung mithilfe des Satzes von Berry-Esseen an.

Problem/Ansatz:

Mir geht es vorallem um Teilaufgabe (a), den Rest habe ich nur der Vollständigkeit halber hingeschrieben.

Habe bereits Erwartungswert und Varianz berechnet:

E(X)=0,8

Var(X)=1,36

Weiter komme ich mit Hilfe meines Skripts nicht. Ich glaube, es hat was mit dem Zentralen Grenzwertsatz zu tun, aber dazu steht im Skript nur eine Formel/Aussage, die ich nicht ganz verstehe:

Sei X₁, X₂, . . . eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsgrößen mit Var(X1)∈(0,∞).

Sei S_n*:=  \( \frac{ Sn-n·E(X1) }{ \sqrt{ n·Var(X1) } } \) die zugehörigen standardisierten Summen. Sei ferner S standardnormalverteilt, also ℙ_S=N(0,1). Dann konvergiert (S_n*)_n∈ℕ in Verteilung gegen S für n→∞.

Ich bin dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

\( S_n^* \coloneqq \frac{ S_n-n\cdot\operatorname{E}(X_1) }{ \sqrt{ n\cdot\operatorname{Var}(X_1) } } \)

Setze \(S_n = 7700\) und \(S_n = 8090\) ein um untere bzw. obere Grenze des Intervalls \(I\) zu berechnen.

Berechne \(P(S_n^* \in I)\).

Comments

Vielen Dank!

Die beiden Sn habe ich jetzt (mit korrigierter Varianz, die war ursprünglich falsch) berechnet:

-\( \frac{5}{\sqrt{6}} \) sowie \( \frac{3}{\sqrt{24}} \)

Ich verstehe den nächsten Schritt leider noch nicht. Mit P(S_n*∈I) ist die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass die S_n im Intervall [7700, 8090] liegen? Wie gehe ich denn da vor?

---

Mit \(P(S_n^*\in I)\) ist die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass der Wert von \(S_n^*\) im Intervall \(\left[-\frac{5}{\sqrt{6}}, \frac{3}{\sqrt{24}} \right]\) liegt.

Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes ist diese Wahrscheinlichkeit ungefähr genau so groß wie die Wahrscheinlickeit, dass der Wert von \(S_n\) im Intervall [7700, 8090] liegt.

---

Danke für deine Antwort!

Falls du noch ein bisschen Geduld hast: Wie berechne ich denn diese Wahrscheinlichkeit? Es fehlt mir leider total das Grundlagenwissen und ich weiß einfach nicht, welche Formeln/Stichworte ich da berücksichtigen muss. Also ich sehe, dass die KI da unten was ausgerechnet hat, aber nicht, wie man darauf kommt.

Answer 2

Eine KI sagt dazu:

(a) Um diese Aufgabe zu lösen, können wir den Zentralen Grenzwertsatz anwenden. Zuerst berechnen wir den Erwartungswert und die Varianz eines einzelnen Sprungs:
Erwartungswert: μ = 2 * 0,6 + (-1) * 0,4 = 0,8
Varianz: σ² = (2² * 0,6 + (-1)² * 0,4) - 0,8² = 2,8 - 0,64 = 2,16
Nach 10.000 Sprüngen:
Erwartungswert: E(S₁₀₀₀₀) = 10000 * 0,8 = 8000
Standardabweichung: σ(S₁₀₀₀₀) = √(10000 * 2,16) ≈ 146,97
Nun können wir die standardisierte Zufallsvariable berechnen:
Z = (S₁₀₀₀₀ - 8000) / 146,97
Die Wahrscheinlichkeit, dass S₁₀₀₀₀ im Intervall [7700, 8090] liegt, entspricht:
P(7700 ≤ S₁₀₀₀₀ ≤ 8090) = P(-2,04 ≤ Z ≤ 0,61)
Mit der Standardnormalverteilung erhalten wir:
P(-2,04 ≤ Z ≤ 0,61) ≈ Φ(0,61) - Φ(-2,04) ≈ 0,7291 - 0,0207 ≈ 0,7084
Die approximative Wahrscheinlichkeit beträgt also etwa 70,84%.
(b) Für diese Aufgabe suchen wir c, sodass:
P(8000 - c ≤ S₁₀₀₀₀ ≤ 8000 + c) = 0,95
Dies entspricht:
P(-c/146,97 ≤ Z ≤ c/146,97) = 0,95
Aus der Standardnormalverteilung wissen wir, dass für P(-z ≤ Z ≤ z) = 0,95 gilt: z ≈ 1,96
Somit:
c/146,97 = 1,96
c = 1,96 * 146,97 ≈ 288,06
(c) Der Satz von Berry-Esseen gibt eine obere Schranke für den Approximationsfehler bei der Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes. Die Fehlerabschätzung lautet:
|F_n(x) - Φ(x)| ≤ C * ρ / (σ³√n)
Wobei:

F_n(x) die tatsächliche Verteilungsfunktion von S_n ist
Φ(x) die Standardnormalverteilung
C eine Konstante (≤ 0,4748)
ρ = E(|X - μ|³) das dritte zentrale Moment
σ die Standardabweichung eines einzelnen Sprungs
n die Anzahl der Sprünge

Wir müssen ρ berechnen:
ρ = 0,6 * |2 - 0,8|³ + 0,4 * |-1 - 0,8|³ = 0,6 * 1,2³ + 0,4 * 1,8³ ≈ 3,456
Nun können wir die obere Schranke berechnen:
Fehler ≤ 0,4748 * 3,456 / (√2,16³ * √10000) ≈ 0,0074
Dies bedeutet, dass der absolute Fehler in unseren Berechnungen nicht größer als 0,74 Prozentpunkte sein sollte.

Comments

Dankeschön!

Das, was bei mir Sn* ist, scheint bei der KI die "standardisierte Zufallsvariable" Z zu sein. Die Werte habe ich, nach Korrektur meiner Varianz, jetzt auch raus.

Das Ganze gibt mir auf jeden Fall schon mal eine Orientierung, auch wenn ich die einzelnen Schritte noch mit meinem Skript und den da verwendeten Begriffen in Einklang bringen und das generelle Vorgehen verstehen muss.