Nullstelle: f(x) = e^x - e^{2x}

Question

ich soll die Nullstelle der Funktion f(x) = e^x - e^{2x} berechnen.

Comments

Vielen Dank euch allen für die Mühe :)

Answer 1

f(x) = e^x - e^2x = e^x - e^x * e^x = e^x * (1 - e^x) = 0

Ein Produkt wird null wenn einer der Faktoren null wird.

1 - e^x = 0
e^x = 1
x = 0

Damit haben wir eine Nullstelle bei 0.

Skizze:

Answer 2

e^x - e^{2x} = 0 (Das ist unsere Gleichung) 

e^x = e^{2x}   (Jetzt ziehen wir die x.-te Wurzel und das geht nur, wenn x ungleich 0 ist)

e = e^2 =>  Die Gleichung besitzt nur die Lösung 0.

 

Alles klar?

gruß...

Comments

Interessehalber: Wie kommst du von e = e^2 auf die Schlussfolgerung x = 0 ?

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Er hat die x-te Wurzel unter der Voraussetzung gezogen, dass x ungleich 0 ist und dann einen Widerspruch erhalten, woraus folgt: x = 0.

Alternativ hätte er auch an der Stelle

e^x = e^{2x}

logarithmieren können:
x = 2x | -x

0 = x

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Das darf man doch nicht machen. Wenn man unter der Voraussetzung das x <> 0 die x. Wurzel zieht, kann man nachher nicht Schlussfolgern das x = 0 ist.

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Wieso? Ist das nicht Beweis durch Widerspruch?

Ich gehe von einer bestimmten Annahme aus (nehmen wir das berühmte Beispiel √2 ∈ ℚ), dann erhalte ich eine unwahre Aussage bzw. einen Widerspruch, und damit ist die Annahme widerlegt.
Oder hat das hier etwas mit "ex falso quodlibet" zu tun?

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2/x = 3/x

Also ich nehme an das x<>0 ist damit darf ich mit x multiplizieren

2 = 3

so und da das jetzt nicht geht muss x = 0 sein oder wie ?

natürlich sieht man bei e^x = e^{2x} ja so schon das x = 0 sein muss. aber mathematisch ist das glaube ich nicht so der Bringer. dann eher den Exponentenvergleich. also zwei Potenzen mit gleicher Basis sind gleich wenn die Exponenten gleich sind. oder halt den ln() nehmen.

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Schönes Gegenbeispiel, sozusagen ein Beweis durch Widerspruch :-)

Die Konversationen mit Dir sind immer sehr lehrreich!

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wobei natürlich e^x = e^{2x} noch Gültigkeit hatte, aber 2/x = 3/x schon an sich unwahr ist, nicht wahr?

Answer 3

f(x) = e^x - 2*e^{2x} = 0

e^x = 2*e^{2x}

e^x = 2 * e^x * e^x | :e^x

1 = 2 * e^x

1/2 = e^x | ln

ln (1/2) = x

x ≈ -0,6931

Comments

Deine Rechnung erinnert mich an einen Guten Kumpel. Alles tadellos gerechnet, nur die Aufgabe verkehrt abgeschrieben :(

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Das ist ja wieder mal so wahr :-(

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Macht nichts. Mein Kumpel hat trotzdem in der Arbeit eine 1 gehabt. Der Lehrer meinte aber das müsste eigentlich eine 1+++ sein, weil er sich die Aufgabe durch verkehrtes Abschreiben unnötig schwer gemacht hat.

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Das ist ein Trost :-))