Gegeben Ebene E. Gesucht: Senkrechte Ebene durch 2 Punkte von E.

Question

Im R³ ist eine Ebene durch A(2/1/3) , B (4/2/3) und C (5/3/1) gegeben.

a) Bestimmen Sie eine dazu senkrechte Ebene, die durch A und C geht.

b) Bestimmen Sie z Element R so, dass auch der Punkt D (1/2/z) in dieser Ebene liegt.

Answer 1

Die gegebene Ebene E1 lässt sich in Parameterform beschreiben als: 

E1: v = A + r * (B-A) + s * (C-A) =

(2|1|3) + r * (2|1|0) + s * (3|2|-2)

 

a)

Der Normalenvektor, der senkrecht auf E1 steht, wird ermittelt durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: 

2                        3                             1*(-2) - 0*2                -2

1            x          2               =            0*3 - 2*(-2)       =        4

0                       -2                             2*2 - 1*3                     1

 

Jetzt können wir die Ebene E2 in Parameterform beschreiben als: 

E2: v = A + r * (C-A) + s * (-2|4|1) =

(2|1|3) + r * (3|2|-2) + s * (-2|4|1)

 

b)

D(1|2|z) soll in dieser Ebene liegen, also

2 + 3r -2s = 1 oder

3r - 2s = -1

1 +2r + 4s = 2 oder

2r + 4s = 1

r = -0,125

s = 0,3125

Also ist z

3 - 0,125 * (-2) + 0,3125 * 1 = 3,5625

 

Probe: 

(2|1|3) -0,125*(3|2|-2) + 0,3125*(-2|4|1) = (1|2|3,5625) = D

 

Ich hoffe, ich habe keine Rechenfehler eingebaut - die Vorgehensweise sollte richtig sein :-)

Comments

Also ich hab es kurz überflogen und konnte keinen Rechenfehler feststellen. Auch das Verfahren ist mustergültig würde ich sagen.

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Ich danke ebenfalls für die Bemühungen ! Es hat mir sehr geholfen !!!