Gibt es eine Regel, in welchem Intervall die Nullstellen liegen müssen?

Question

Weiß jemand ob es eine Regel gibt (mir ist keine bekannt) mit der man bei einem Polynom  (z.b. zweiten oder dritten grades) ein Intervall bestimmen kann, in dem die Nullstellen liegen müssen? Kann man es irgendwie an dem Polynom ablesen?

Danke und Grüße,

koffi

Answer 1

Du kannst Hoch- und Tiefpunkte bestimmen. Sind nebeneinanderliegende Hoch und Tiefpunkte auf verschiedenen Seiten der x-Achse, so muss dazwischen natürlich eine Nullstelle sein.

Wenn man das Verhalten im Unendlichen kennt, dann kann man damit auch bestimmen ob es zwischen dem ganz linken oder rechten Extrempunkt und dem Unendlichen noch Nullstellen geben kann. Hier hätte man allerdings nur eine Intervallgrenze.

Meinst du das in etwa ?

Du kannst also über die Lage der Extrempunkte und dem Verhalten im Unendlichen Intervalle für die Nullstellen festlegen und auch die Anzahl Nullstellen angeben.

Ein reines Ablesen an den Koeffizienten ist nicht möglich.

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Ah super Das hilft mir weiter.

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Sturmsche_Kette

Comments

@az0815 & MB: Okay, also etwas basismathematisches scheint es nicht zu geben (für mehr als Basismathematik reicht meine CPU nicht). Trotzdem danke für eure Antworten!

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Eine einfache Überlegung wäre etwa diese hier:

Ist eine Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall stetig und weist sie dort k Vorzeichenwechsel auf, dann hat sie in diesem Intervall mindestens k Nullstellen.

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eine direkte Methode gibt es nicht.

Es gibt einige Möglichkeiten, wie Du die Intervalle abschätzen kannst, in denen die Nullstellen liegen. Wenn Du Pech hast ist diese Aussage aber so allgemein, dass sie nutzlos ist (so etwa: irgendwo im Positiven liegt sie).

Alle anderen hier erwähnten Methoden sind nicht allgemein, sondern laufen darauf hinaus, dass Du die Funktion genauer analysiert, also im Prinzip schon fast versuchst, die Nullstellen wirklich zu berechnen, anstatt sie nur grob abzuschätzen. (Wenn ich eine Methode habe, die die Nullstellen aber genau berechnet oder analysiert, ist logischerweise jede Abschätzlung überflüssig.)

Grüße,

M.B.

Answer 3

lustige Stichworte sind auch Frobenius-Begleitmatrix oder Gerschgorin-Kreise.

Grüße,

M.B.

Answer 4

du kannst ja beliebige x Werte in die Funktion einsetzen, unterscheiden sich die Ergebnisse im Vorzeichen, muss dazwischen eine Nullstelle liegen (Zwischenwertsatz). Das ganze kann man mehrmals wiederholen, um das Intervall zu verfeinern. Aber dann muss man trotzdem ein wenig raten , um im richtigen Bereich zu starten.

Comments

das nutzt Dir absolut gar nichts.

Wenn Du für zwei x-werte zwei positive y-werte erhältst, können dazwischen keine oder 2 Nullstellen liegen. Wie willst Du das entscheiden? Wenn die Nullstellen eng beieinander liegen oder auch sehr weit auseinander liegen, wie viele Intervalle willst Du machen, wie viele (tausende) x-Werte berechen, bevor Du ein vernünftiges Ergebnis bekommst?

Bevor man so einen *** macht, sollte man von vorne herein gleich eine saubere Intervallschachtelung machen, die geht schneller und ist besser. Aber das ist keine Abschätzung mehr, sondern eine Berechnung.

Grüße,

M.B.