Gibt es eine Methode, um das Intervall bei einem Polynom zu bestimmen, in dem überhaupt Nullstellen auftreten können?

Question

Hi!

Vielleicht kann mir einer bei einer kleinen Frage helfen:

Gibt es eine Methode, um das Intervall bei einem Polynom zu bestimmen, in dem überhaupt Nullstellen auftreten können?

Gegeben ist ein konkretes Polynom der Form

a_n·x^n + a_n-1·x^(n - 1) + a_n-2·x^(n - 2) + ... + a₂·x^2 + a₁·x + a₀

Kann man durch eine Abschätzung / Methode / Verfahren etc. ermitteln, in welchem Intervall überhaupt Nullstellen auftreten können?

Vielleicht kann hier ja jemand helfen.

Comments

Manchmal spiel einem der Zufall etwas in die Hände.

Hier ist eine Frage zu meiner Frage.

https://www.mathelounge.de/974987/beweis-einer-nullstelle-zeigen

Answer 1

Ist \(x_0\) Nullstelle von \(x^n + \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\), dann ist

        \(|x_0| \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}|a_k|\).

Comments

Vielen Dank. Weißt du zufällig, ob diese Regel / Verfahren einen Namen hat? Bei Nullstellen auf Wikipedia hatte ich als erstes geschaut, aber nichts gefunden.

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Das Polynom \(x^3-0.64x\) hat eine Nullstelle 0.8, die nicht die angegebene Abschätzung erfüllt. Ich denke, es müsste so abgeschätzt werden:

$$|x_0| \leq \max\{1,\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|\}$$

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Diese Abschätzung hat keinen Namen da sie unmittelbar aus abs(x^n)> abs(x^(n-1)) folgt, und der Fall abs(x)< 1 schließt man ja aus indem man der  Abschätzung entweder  max(1, ) oder  +1 hinzufügt