Untersumme von 1-x² berechnen

Question

Sei f: [0;1] →ℝ , x↦1-x²und Zn die Zerlegung von [0;b] in n gleiche Teile.

Zeigen Sie:

U(Zn) = b -1/6* b³*(1+(1/n))*(2-(1/n))

Ich habe mal für die ersten zwei, drei Rechtecke aufgeschrieben...

U(Zn) = b/n * (1-(b²/n²) + b/n * (1-(4b²/n²) + b/n * (1-((n-1)²*b² / n²))

Wenn man b/n noch ausklammert macht sich ja vor den b² die Summe 1²+2²+....+(n-1)² zu erkennen.

Dann könnte ich ja für 1+4+...+(n-1)² schreiben: 1/6 * (n-1)*n*(2n-1)

Die Konstante 1 bereitet mit Probleme. Ansonsten könnte ich ja wunderbar auch noch b²/n² rausziehen. Mit der 1 weiß ich nicht wie ich ausklammern muss/kann, um in einer Klammer die Summe 1+4+(n-1)² stehen zu haben.

Danke vorab für die Hilfe!

LG

Answer 1

Hallo Simon,

multipliziere dein    b/n * (1-(b²/n²) + b/n * (1-(4b²/n²) + b/n * (1-((n-1)²*b² / n²))  aus

dann hast du n-mal den Summden b/n → b

aus dem Rest kannst du  dann b³ / n³ ausklammern , die Summenformel einsetzen, n wegkürzen und in jede der beiden Klammer den Faktor 1/n reinmultiplizieren.

Gruß Wolfgang

Comments

Ich versuche es nochmal. Ich habe eh schon einen Fehler bei der Rechnung eingebaut sehe ich gerade :D

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Kannst du mir wenn du Zeit und Lust hast vorrechnen wie man hier ausklammert? Ich komme da einfach nicht weiter

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In deiner Formel fehlt der 1. Summand der Untersumme:

  b/n * (1 - 0*b²/n² + 1-(b²/n²) + b/n * (1-(4b²/n²) + ....+ b/n * (1-((n-1)²*b² / n²)) =

 b/n +  b/n - (b³/n³) + b/n -(4b³/n³) +.... +  b/n -((n-1)² b³/n³)) =

  n * b/n - b³/n³ * (  1 + 4 + ... + (n-1)² ) = 

b  -  b³ * 1/n * 1/n * 1/n *    1/6 *  (n-1) * n *(2n-1)

 [ 1/n * n kürzt sich weg, von den beiden anderen Faktoren 1/n multiplizierst du jeweils einen in eine der beiden Klammern ]

=  b - 1/6 * b³ * (1 - 1/n) * (2 - 1/n) 

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Danke erstmal. 
Aber wieso multiplizierst du in deiner zweiten Zeile mit n? Ich meine wo kommen die denn her?

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Ich multipliziere nicht mit n sondern mit dem Faktor b/n , der vor der Klammer steht ( weil du ihn wohl irgendwann mal ausgeklammert hast)

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Der Schritt ist mir klar. In der Zeile danach steht dann aber
n *b:n  .......
Hier weiß ich nicht wo auf einmal das n herkommt

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n * b/n  sind  alle n  Summanden b/n zusammengerechnet, die  - nach dem Ausmultiplizieren - in der Summe stehen (in der Zeile darüber fett schwarz markiert)

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Jetzt hab ich es kapiert.