Gram Schmidt Verfahren mit Skalarprodukt <x,y> = x1y1+ 2x2 y2 +3x3 y3

Question

Ich soll folgende aufgabe lösen.

Gegeben sei das auf ℝ^3 definierte Skalarprodukt <x,y> = x₁y₁+ 2x₂ y_{2  +}3x₃ y₃

Berechne Sie mithilfe des Gram schmidt verfahren aus der basis eine orthonormalnasis des ℝ^3.

b_{1= ( 2  1  0)}

b₂ = ( 0 -1 3)

b₃=( -3  0  1)

Ich habe das pronzio verstanden aber zweifle an meine ergebnisse. Wichtig ist hier das skalarprodukt zu beachten.

1. b_{1 normieren}

_{So erhalte ich q1=(2/√6, 1/√6, 0)}

_{2. Lot l2} 

l2= b2  - <b2, q1>*q1

l2= (2/3 , -2/3 , 3)

3. Normieren von l2

so erhalte ich q2= 1/ ((√255)/3) *(2/3,-2/3,3)

Ich weiss dass ich noch bicht fertig bin aber das ergbnis scheint mir echt komisch da ich beim bestimmen von l3 auf dezimalzahlen komme.

l3= b3  - <b3,q2>*q2 - <b3,q1>q1

Danke

Answer 1

Hallo Samira,

ich kann in deinen Ausführungen keinen Fehler finden.

q₁ • q₂ = 0  →  q₁ ⊥ q₂  spricht auch für die Richtigkeit.

> ... von l3 auf Dezimalzahlen komme.

Kann man mit Brüchen vermeiden, wenn man Wurzeln stehen lässt.

Also:  weiter quälen :-)

Gruß Wolfgang

Comments

Ich zeig dir mal wie ich weitergemacht habe

Für l3 erhalte ich: (-83/85 , 83/85, 94/85 )

Dann noch l3 normieren

q3=  (   (-83/85 , 83/85, 94/85)  ) / (  (-83/85)^2 + 2*(83/85)^2 + 3*(94/85)^2) )

Aber hier bekomme ich keone schöne zahl

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Ich habe die wurzel vergessen im nenner:)

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stimmt das??

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Schaue heute spät noch mal rein. Wenn sich bis dahin niemand anders findet, kannst du ja morgen früh noch einmal nachschauen.

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wie versprochen:

l₃ = 

[-3, 0, 1] - (- √6) · [ √6/3 , √6/6 , 0 ]

                -  ( - 2√255/85 + 0  + 9·√255/85 ) • [2·√255/255, - 2·√255/255, 3·√255/85 ]

= [- 99/85, 99/85, 22/85]

q₃ = 

 [ - 99/85, 99/85, 22/85 ] / √ [ (- 99/85)² + 2·(99/85)² + 3·(22/85)² ]

=  [ - 3·√255/85 , 3·√255/85 , 2·√255/255 ]

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Danke :))
Aber es heisst ja l3= b3  - <b3,q2>*q2 - <b3,q1>q1


Für b3 aber habe ich (-3,0,1)q2= 1/ (√255)/3 * (2/3, -2/3,3)

q1= 2/ √6 , 1/√6 , 0

<b3 , q2> = -3* 1/( √255)/3 * 2/3 + 1/(√255)/3

Dann muss ich <b3 , q2> mit q2 multiplizieren

So erhalte ich: (-2/85, 2/85, -9/85)

Dann noch <b3,q1> *q1(-√6)* q1 = (-2,-1,0)

Zuletzt:L3 =(-3,0,1) - (-2/85, 2/85, -9/85) - (-2, -1, 0) = (-83/85 , 83/85, 94/85)

Wo ist mein rechnefehler? :( 

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>    <b3 , q2> = -3 * 1/( √255)/3 * 2/3 + 1 /(√255)/3

Wegen  Skalarprodukt <x,y> = x₁y₁+ 2x₂ y_{2  +} 3 * x₃ y₃  muss es doch

<b3 , q2>   =  -3 *  1/ ((√255)/3) * 2/3 + 3 * 1 * 1/((√255)/3) * 3   heißen  

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genauu, das habe ich hier nicht angewendet, ich danke dir. du bist ene große hilfe für mich:)

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für <b3 , q2> erhalte ich 7(√255 )/ 85 und dann mit q2 multipliziert: 7/4  ,-7/4 ,63/8 )

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dann komme cih aber weider nicht auf [- 99/85, 99/85, 22/85] sondern auf (-11/4 , 11/4, -55/8)

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7(√255 )/ 85 ist richtig ,

für  7(√255 )/ 85 * q₂  erhalte ich  [14/85, - 14/85, 63/85]

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q2= 1/ (√255)/3 * (2/3, -2/3,3)

hast du auch beachtet dass die wurzel nur bei 255 steht ??

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denn 7(√255 )/ 85 * 1/ (√255)/3 * (2/3, -2/3,3)

ergibt: 7/4 , -7/4, 63/8

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>  denn 7(√255 )/ 85 * 1/ (√255)/3 * (2/3, -2/3,3) 

Die Klammern nach √255 ist überflüssig, aber nach der 3  muss eine Klammer stehen:

q₂ =  1/ ((√255)/3) *(2/3,-2/3,3)

(Hast du oben bei deiner Fragestellung selbst so ausgerechnet :-))

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ja ich meine damit dass die wurzel nur bei 255 ist also 1/ (√255 / 3)

aber ich verstehe nicht warum wir auf unterschiedliche ergebnisse kommen

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7(√255 )/ 85 * 1/ (√255/3 ) * (2/3, -2/3,3) =  (14/85, - 14/85, 63/85 )

Durch √255/3 wird dividiert, indem man mit 3/√255 multipliziert:

( 7 • √255 • 1 • 3 ) /  ( 85 • √255 )  *  (2/3, -2/3,3)  = 21/85 * (2/3, -2/3,3) =  ( 14/85, - 14/85, 63/85 ) 

Du musst einfach nur die Klammer richtig setzen und das dann auch so eintippen !

Was soll ich dir sonst noch dazu sagen ? :-)

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Dankeschön, da hast du wieder mal recht;)

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Dann schau, dass du den Rest auch noch nachrechnest. :-)