Aufgabe:
Sei
$$ V=\left\{\left(\begin{array}{ll} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{2}} & {a_{3}} \end{array}\right) | a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} $$
der Vektorraum der reellen symmetrischen \( 2 \times 2 \) - Matrizen und sei
$$ \langle\cdot, \cdot\rangle_{3}: V \times V \rightarrow \mathbb{R} ; \quad\left\langle\left(\begin{array}{ll} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{2}} & {a_{3}} \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} {b_{1}} & {b_{2}} \\ {b_{2}} & {b_{3}} \end{array}\right)\right\rangle_{3}=3 a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} $$
ein Skalarprodukt von \( V . \)
Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus der Basis
$$ \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} {0} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {0} & {-1} \\ {-1} & {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {2} & {-2} \\ {-2} & {3} \end{array}\right)\right\} $$
Meine Lösung:
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac { 2 }{ \sqrt { 12 }} & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
jeweils u1, u2, u3
Liege ich damit richtig? Vielleicht kann mir jemand das bestätigen.
