quadratische Ergänzung Ergänzungsterm

Question

Dachte eigentlich ich hätte das Prinzip der Quadratischen Ergänzung verstanden aber bei 2 Aufgaben komme ich einfach nicht auf den Ergänzungsterm der in der Lösung steht.

14=9x2 −15x        (Lösung sagt es muss mit (5/6)^2 ergänzt werden, warum nicht (15/2)^2?)

30x2 − 41x=−13  (Lösung sagt es muss mit (41/60)^2 ergänzt werden, warum?)

Answer 1

Es kommt drauf an, in welchem Moment man ergänzt. Gleich zu Beginn oder nach einer Umformung. 

14 = a^2 - 2ab + b^2 , 

14=9x^2 −15x      

Vergleiche: a = 3x, 2a = 6x 

2ab = 15x 

6xb = 15x

b = (15x)/(6x) = 5/2 

mE sollte + (5/2)^2 gehen. 

  (Lösung sagt es muss mit (5/6)² ergänzt werden, warum nicht (15/2)²?)

15/2 geht nicht, weil vor dem x^2 ein Vorfaktor vorhanden ist. Üblicherweise, wird der erst mal weggeschafft. 

14=9x^2 −15x         | : 9

14/9 = x^2 - 15/9 x          

14/9 = x^2 - 5/3 x            | + (5/6)^2

14/9 + (5/6)^2 = x^2 - 5/3 x + (5/6)^2 = ( x - 5/6)^2 

usw,

Analog wurde wohl bei der Zweiten auch erst mal durch den Faktor vor x^2 dividiert. 

Answer 2

9x^2-15x-14=0

9(x^2-^15/9x +(15/18)^2-(15/18)^2)-14 =0

15/18= 5/6


30x^2  − 41x+13=0


30(x^2-41/30x+(41/60)^2-(41/60))+13=0


Du musst immer den Faktor vor x^2 ausklammern, bevor du ergänzt.