Folgen und Reihen Textbeispiel

Question

Die Längen der Seiten und die Länge der Diagonalen eines Rechtecks bilden eine arithmetische Folge. Berechne den Schnittwinkel der Diagonalen, wenn gilt :

1) Diagonale: 172m

Danke für die Antwort

Answer 1

Die Sache macht eigentlich nur Sinn, wenn gemeint ist: Die beiden Seitenlängen a, b und die Diagonalenlänge c=172 sind drei aufeinanderfolgede Glieder einer arithmetischen Folge. Wenn ich die Sache so verstehe und die konstante Differenz d heißt, ergeben sich die Gleichungen a²+(a+d)²= 172² und a+2d=172.  Dann ist a = 103,2, b=137,6 und natürlich c=172. Die konstante Differenz ist d=34,4.

Comments

Die Diagonalen bilden zwei Schnittwinkel, die sich zu 180° ergänzen. Einer davon ist ungefähr 106,26°.

Answer 2

Hier mal ein sehr grob skizzierter Weg zur Lösung: Soll die Folge \((a,b,d)\) arithmetisch sein, müssen die Differenzen benachbarter Glieder gleich sein. Weiter soll das Dreieck \(abd\) rechtwinklig sein, also gilt der Satz des Pythagoras. Daraus ergibt sich das Verhältnis \(a:b:d = 3:4:5\). Das lässt sich zwecks einfacherer Zeichnung erweitern zu \(6:8:10\). Nach etwas Rumrechnen anhand der Zeichnung ergibt sich der Schnittwinkel zum Beispiel durch

$$ 2 \cdot \arcsin\left(4/5\right) \approx 73.73979529^\circ.$$

Die Kenntnis der konkreten Länge der Diagonale ist entbehrlich und soll vielleicht der Verwirrung dienen oder wird in einem anderen Aufgabenteil benötigt.