Normalengleichung von der Ebene

Question

F ich soll die Normalengleichung von den 4 Aufgaben bbestimmen, doch ich weiß gar nicht was ich tunn soll und schreibe am Dienstag einen Test zu sowas. Könnte mir bitte jemand Aufgabe a und b vorrechnen? Habe die Formel: n*x=n*x1 (skalarprodukt)

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zu a) Es ist

$$ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\-1\\2 \end{pmatrix} $$

Den Normalenvektor habe ich hier nicht ausgerechnet, sondern durch "scharfes Hinsehen" bestimmt. Das geht hier bei allen vier Aufgaben. Koordinatengleichung:

$$ x-y = 6 $$

Hm... ich sehe, das ist Quatsch! :-(

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So, jetzt aber:

$$ \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\-1\\2 \end{pmatrix} $$
und
$$ 2x+y+3z = 15 $$

PS: Ok, auch Quatsch, ich lasse es mal.

Answer 1

a)

[3, 0, 2] ⨯ [0, 3, -1] = [-6, 3, 9] = -3 * [2, -1, -3]

E: X * [2, -1, -3] = [5, -1, 2] * [2, -1, -3]

E: 2x - y - 3z = 5

Kannst du die anderen mal so probieren.

Wichtig ist also nur das du das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt kannst.

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b)

[1, -1, 0] ⨯ [-1, 0, 1] = [-1, -1, -1] = -1 * [1, 1, 1]

E: X * [1, 1, 1] = [1, 2, -7] * [1, 1, 1]

E: x + y + z = -4

Answer 2

Zu a) Suche einen Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht. Das ist der Normalenvektor, mit dem man die gegebene Gleichung durchmultipliziert. Dann steht die Normalenform da.

Auf (3 0 2) steht jeder Vektor (-2  a  3) senkrecht. (0  3  -1)·(-2  a  3) = 3a - 3. das ist =0 für a = 1. Also ist (-2  1  3) ein Normalenvektor. Damit durchmultiplizieren x·(-2  1  3) = (5 -1  2)(-2  1  3) = -5. Eine Normalenform lautet also x·(-2  1  3) = -5