Basen bestimmen, sodass die Abbildung diese Abbildungsmatrix besitzt

Question

Gegeben ist eine lineare Abbildung f: ℝ³→ ℝ⁴ mit x ↦ {{1, -1, 1, 1}, {3, 2, 2, 0}, {1, 4, 0, -2}}*x

Die Aufgabenstellung lautet man soll eine Basis A des ℝ³ und eine Basis B des ℝ⁴ bestimmen, sodass die Abbildungsmatrix bzgl. B und A folgende ist: {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}} = D_A,B

Mein Ansatz ist folgender: D_A(f(b₁)) = (1, 0, 0)^T, f(b₁) = (1, 3, 1)^T, usw.

⇒D_A(1, 3, 1) = (1, 0, 0)

Aber wie geht es weiter? Wie bestimme ich die beiden Basen? Ist mein Ansatz überhaupt richtig?

Answer 1

Du weisst doch hoffentlich, wie darstellende Matrizen aufgebaut sind: In der \(j\)-ten Spalte steht steht \(f(a_j)\) als Koordinatenvektor bezueglich \(B\). Dabei sind \(A=\{a_1,a_2,a_3\}\) und \(B=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}\) die Basen. Die Bedingungen lauten also wegen der Form von \(D\):

\(f(a_1)=b_1\), \(f(a_2)=b_2\) und \(f(a_3)=0\).

Da gibt's jetzt jede Menge Auswahl. \(a_3\) muss aus dem Kern sein, aber \(a_1\) und \(a_2\) sind beliebig, solange nur \(A\) noch eine Basis ist und \(b_1\) und \(b_2\) linear unabhaengig sind.