gemeinsamen Punkt von Scharkurven bestimmen. fa(x)=(ln(x)-a)/(ax)

Question

fa(x)=(ln(x)-a)/(ax)

a∈ℝ "plus"

Zeigen Sie: Je zwei verschiedene Scharkurven haben genau einen Punkt gemeinsam. Geben Sie diesen Punkt an.

Welchen Ansatz muss man hier wählen?

Answer 1

fa(x) = fb(x)

(LN(x) - a)/(a·x) = (LN(x) - b)/(b·x)

(LN(x) - a)*b = (LN(x) - b)*a

b·LN(x) - a·b = a·LN(x) - a·b

b·LN(x) - a·LN(x) = 0

(b - a)·LN(x) = 0

Entweder b = a Das ist aber der trivialfall der nicht interessiert oder

x = 1

Comments

der Fall a=b ist nicht trivial, sondern verboten, da grundsätzlich a ungleich b gelten muss.

(Für a = b sind beide Funktoinen identisch und Du hast unendlich viele gemeinsame Punkte.)

Grüße,

M.B.

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richtig. damit ist das der triviale Fall. Natürlich sind zwei identische Funktionen überall gleich. Aber wie gesagt interessiert das hier nicht.

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Das wollte ich auch zuerst so rechnen. Aber müsste die Fragestellung dann nicht lauten: Zeigen Sie, dass alle Funktionen der Schar einen gemeinsamen Punkt besitzen. Kongruiert diese Fragestellung mit der aus meiner Frage oben?

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Ja. Diese Fragen bedeuten das selbe. Wenn paarweise zwei Funktionen der Schar einen Punkt gemeinsam haben

also a und b und b und c und c und d

Haben auch alle Funktionen der Schar einen Punkt gemeinsam.

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Hallo Simon,

Deine Fragestellung suggeriert, dass Du paarweise Schnittpunkte berechnen sollst, also Schnittpunkt von f1 mit f2 oder f2 mit f3 oder f79 mit f2876 etc. In dieser Art der Interpretation ergibt das aber keinen Sinn. Bei Scharkurven ist es normalerweise wichtig zu wissen, (a) ob alle durch einen ganz bestimmten Punkt laufen (und wo dieser ist), bzw. (b) ob es Punkte bzw. Gebiete gibt, wo überhaupt keine Kurve durchläuft.

Grüße,

M.B.

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das ist falsch. Wenn a mit b einen Schnittpunkt hat, und b mit c einen, so gilt noch lange nicht, dass der Schnittpunkt von a und c identisch mit einem der beiden vorherigen ist, oder dass der überhaupt existiert.

(Nimm einfach 3 Geraden.)

Grüße,
M.B.

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Paarweise verschieden heißt aber nicht nur

a mit b und b mit c

sondern natürlich auch

a mit c

Alle beliebigen Kombinationne aus zwei verschiedenen Funktionen der Schar.

Und dann gilt das was ich gesagt habe.

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das ist immer noch falsch:

a hat mit b einen Punkt gemeinsam; b mit c auch, das kann der gleiche sein oder ein anderer; a mit c hat auch einen Schnittpunkt. Und insgesamt hast Du nun1 oder 2 oder 3 Schnittpunkte.

Grüße,

M.B.

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Ja. Du hast recht. Siehe dazu die Antwort unter deiner Antwort.

Answer 2

Du setzt fa1 = fa1, bringst das auf die Form (a1-a2)*(irgendwas) = 0. Da a1 ungleich a2 kannst Du durch den Term teilen und (irgendwas) = 0 nach x auflösen.

Grüße,

M.B.

Comments

fa1 = fa1

Du meinst 

fa1 = fa2 !

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Hallo MatheMB,

ich habe mal eine Frage zu deinem Kommentar oben. (Ich schreibe hier, damit kein Durcheinander entsteht)

das ist falsch. Wenn a mit b einen Schnittpunkt hat, und b mit c einen, so gilt noch lange nicht, dass der Schnittpunkt von a und c identisch mit einem der beiden vorherigen ist, oder dass der überhaupt existiert.

(Nimm einfach 3 Geraden.)

Grüße,
M.B.

Der Ansatz fa1=fa2 und die Lösung (x=1) sagt ja aus, dass zwei beliebe Kurven der Schar sich im Punkt (1|f(1)) schneiden. Letztlich ist aber doch egal wie ich diese zwei Parameter belege. Ich lande doch immer beim Punkt (1|f(1)) .

Sehe ich das falsch?

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Sehe ich das falsch?

Nein das siehst du richtig. MatheMB meint z.B. 

Die Tangenten an den Kreisbogen eines Kreissektors von unter 180 Grad. Da haben auch paarweise die Tangenten einen Schnittpunkt allerdings nicht alle den gleichen.

Bei Scharkurven ist aber eigentlich immer nur nach einem festen Punkt gefragt. Ansonsten wäre das x auch abängig von a und b was theoretisch auch gehen würde.

Z.B. die Kurvenschar

fa(x) = (x - a)^2

Da haben zwei Kurven der Schar auch immer einen Punkt gemeinsam. Allerdings nicht alle den Gleichen.

Da gibt

fa(x) = fb(x) --> x = (a + b)/2

Hier ist also offensichtlich der gemeinsame Schnittpunkt von a und b abhängig. Sowas kann auch sein.

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Ja.

Die Lösung oben war ja

(b - a)·LN(x) = 0

Wenn auf der rechten Seite eine Zahl ungleich 0 stehen würden, hätte man auch den Fall, dass der Schnittpunkt von a und b abhängt oder?

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Richtig.

Meist geht es aber bei Scharkurven um Punkte, die auf allen Kurven einer Schar liegen.

Den anderen Fall könnte es theoretisch auch geben hatte ich aber selber noch nie als Aufgabe.

Daher ist meist die typische Frage: "Gibt es Punkte, die auf allen Graphen der Schar liegen. Wenn ja geben sie diese Punkte an."