Lagrange Multiplikator anwendung

Question

Folgende Aufgabe hab ich zu lösen:

a)Durch die Geschlossene Fläche x^4-y^4-z^4 = 1 ist eine geschlossene Fläche im R^3 definiert. Geben sie den Normalvektor an einem beliebigen Punkt an!

Das erscheint mir noch relativ einfach. Forme ich um so dass auf der Rechten Seite 0 steht kann ich mir den Gradienten zu (4x^3,4y^3,4z^3) berechnen´.

b) Leiten sie ein Gleichungssystem her, dessen Lösung diejenigen Punkte auf der unter a) definierten Fläche liefert, die den von dem Koordinatenursprung maximalen Abstand haben.( Sie brauchen dieses nicht zu lösen)

Seh ich das Richtig das der Normalvektor meine Zielfunktion ist und die Gleichung f(x,y) = (1-y^4-x^4)^1/4 meine Nebenbedienung ist? Ich weiß ab den Punkt nämlich nicht mehr weiter weil mich meine z Komponente im Normalvektor verwirrt!

Kann mir bitte jemand zeigen wie das Beispiel gerechnet wird?!

Answer 1

b) Leiten sie ein Gleichungssystem her, dessen Lösung diejenigen Punkte auf der unter a) definierten Fläche liefert, die den von dem Koordinatenursprung maximalen Abstand haben.( Sie brauchen dieses nicht zu lösen)

Der Abstand des Punktes (x;y;z) vom Koordinatenursprungist

f ( x,y,z) = √ ( x^2 + y^2 + z^2 )

Das ist die Zielfunktion, von der du die Maxima suchst unter der

Nebenbedingung, dass der Punkte auf der unter a) definierten Flächeliegt,

also ist die Nebenbedingung x⁴-y⁴-z⁴ = 1bzw  x⁴-y⁴-z⁴ - 1= 0

um den Lagrange-Ansatz anzuwenden.

Comments

Ok danke so weit so klar! Ich hab dann die 4 Gleichungen und könnte mir damit die x,y,z Werte Ausrechnen. Der Lagrange Formalismus besagt doch aber nur aus das an diesen Stellen ein Maximum oder Minimum vorliegt. Wie kann ich also festlegen das es sich nicht um ein Minimum handelt sondern um ein Maximum?

Danke auf alle Fälle für die Hilfe!

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. Der Lagrange Formalismus besagt doch aber nur aus das an diesen Stellen ein Maximum oder Minimum vorliegen KÖNNTE !

Genaueres (Min, Max, Sattel etc. sagt die Hessematrix.

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix#Extremwerte

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Ok aber dann kann ich mit der Hesse Matrix nur überprüfen ob dort ein Minimum oder Maximum vorliegt. Wie kann ich aber meine Gleichung so aufstellen das mit Sicherheit ein Maximum vorliegt. Im Moment könnte ich ja mit meiner Gleichung auch jene Punkte berechnen, die den geringsten Abstand haben.

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Das ist immer so:

Du berechnest alle Lösungen des Gleichungssystems und hast

dann die sog. kritischen Punkten.

Für jeden dieser Punkte machst du die Kontrolle mit der

Hessematrix und kannst dann entscheiden, welcher

der mit dem Max. ist.

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Achso das hast weil ich Gleichungen mit Potenzen hab werde ich keine eindeutigen Lösungen bekommen. Also muss ich alle Lösungen mit der Hesse Matrix überprüfen um zu sehen welche die Funktion maximiert und welche minimiert. Stimmt das so weit?

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Genau ! Häufig gibt es eben mehrere Lösungen und die muss man dann alle prüfen.