Beschränkte stetige Funktionen

Question

Ich habe folgende Frage:

Ist eine beschränkte Funktion zwangsläufig stetig? Ich würde meinen nein aber in folgenden Beweis wird es impliziert!

Sei V ein Prähilbertraum. Für festets y∈V ist die Abbildung f:V→ℝ, definiert durch x→f(x)=⟨x,y⟩ ein stetig lineares Funktional. Der Beweis folgt aus der Cauchy Schwarz'schen Ungleichung:

|f(x_n)-f(x)| = |⟨x_n,y⟩ - ⟨x,y⟩| ≤||x_n-x|| ||y|| was Beschränktheit und damit Stetigkeit impliziert. Müsste nicht ||x_n-x|| oder ||y|| ein linearer Operator sein damit das gilt? Hoffe es kann mich da jemand aufklären!

Comments

Nur eine Idee. Wenn man mal die Vorzeichenfunktion

SIGN(x) nimmt. Die ist definiert

SIGN(x) = -1 für x < 0

SIGN(x) = 0 für x = 0

SIGN(x) = 1 für x > 0

Ist diese Funktion stetig ? Ist diese Funktion beschränkt ?

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An der Stelle 0 ist die Vorzeichenfunktion natürlich nicht stetig aber überall sonst schon. Und obere bzw. untere Schranke ist 1,-1. Ich kann also aus Beschränktheit keine Stetigkeit schließen. Wie ist das dann aber in meinem Beweis zu verstehen?

Answer 1

nutze die Stetigkeit der Norm, also

lim n--> ∞ ||x_n-x||=||lim n--->∞ (x_n-x)||=0