Woran erkenne ich, dass es keine Lösungsmenge gibt?

Question

ich weiß, dass dieses lineares Gleichungssystem keine Lösungsmenge besitzt. Aber warum bzw. woran erkenne ich das?

6x - 9y= 11

8x - 12y= 15

Answer 1

Geraden haben (a) einen Schnittpunkt, oder sind (b) parallel, als Spezialfall davon (b2) sie sind identisch.

Bei Parallelität müssen unter anderem die Steigungen Delta y / Delta x identisch sein.

Grüße,

M.B.

Answer 2

wenn du eine der Gleichungen mit einem Faktor ungleich 0 multiplizierst, änderst du die Lösungsmenge nicht.

Multipliziere die zweite Gleichung mit 3/4

-->

6x-9y=11

6x-9y=45/4=11.25

--> 11=11.25 ??

Die beiden Gleichungen widersprechen sich also, es gibt  keine Lösung.

Anschaulich gesehen handelt es sich bei den beiden Gleichungen um Geraden in der Ebene mit selber Steigung, aber unterschiedlichen Achsenabschnitt. Die Geraden schneiden sich nicht.

Answer 3

ich weiß, dass dieses lineares Gleichungssystem keine Lösungsmenge besitzt.

Das ist nicht richtig, es besitzt eine Lösungsmenge, auch wenn diese ggf. leer ist.

Aber warum bzw. woran erkenne ich das?

$$6x - 9y= 11\\8x - 12y= 15$$Ich erweitere die erste Gleichung mal mit 4 und die zweite mit 3 und erhalte das äquivalente System $$24x - 36y= 44\\24x - 36y= 45.$$Was jetzt bereits offensichtlich ist, wird noch deutlicher, wenn ich die erste von der zweiten Gleichung subtrahiere. Ich erhalte$$0=1$$Spätestens jetzt erkenne ich, dass es keine Möglichkeit gibt, die Variablen \(x\) und \(y\) so zu belegen, dass die Gleichung erfüllt wird. Die Lösungsmenge ist also leer.