Ableitung mit Ableitungsformel; ohne Ableitungsregeln?

Question

ich versuche die Funktion f(x) = 1/4x³-2 ; m = 3 abzuleiten. Mithilfe der Ableitungsregeln habe ich dies auch geschafft, aber im Unterricht haben wir bisher immer bloß mit der Ableitungsformel gearbeitet, deswegen habe ich es so versucht. Es war viel komplizierter und spätestens beim Einsetzen von m bin ich mir überhaupt nicht mehr sicher ob es richtig ist. Könnte vielleicht jemand drüber schauen?

Answer 1

Hi,

Du willst es selbst probieren? Dann diene ich gerne mit Hinweisen ;).

Was machst Du denn in der Nebenrechnung? Das Gleichheitszeichen passt hier schon nicht. Du hast hier ja die Ableitung ausgerechnet...die übrigens falsch ist. Das -2 muss weg.

Die N.R. brauchst Du aber ohnehin nicht -> Du willst ja die Ableitung ausrechnen ;).

Tipp:

f(x+h) = 1/4*(x+h)³-2

Mit f(x) = 1/4*x³-2

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Du schreibst $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ (was richtig ist), verwendest diese Formel jedoch drei Zeilen später nicht mehr. Stattdessen stellst du in der Nebenrechnung die abenteuerliche Behauptung auf, dass $\frac{1}{4}\cdot x^3-2$ das gleiche wie $\frac {1}{4}\cdot 3\cdot x^2 - 2$ sei, was sich leicht durch Einsetzen von zum Beispiel $x=1$ widerlegen lässt.

Verwende stattdessen tatsächlich $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ indem du $f(a+h)$ und $f(a)$ durch die entsprechenden Funktionsterme ersetzt:

        $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{\left(\frac{1}{4}\cdot (a+h)^3-2\right) - \left(\frac{1}{4}\cdot a^3-2\right)}{h}$.

Vereinfache diesen Ausdruck mittels der üblichen Rechenregeln mit dem Ziel, das $h$ aus dem Nenner wegzubekommen. Zu diesem Zeitpunkt darfst du das $\lim_{h\to 0}$ weglassen und für $h$ den Wert 0 einsetzen.

Comments

Ersteinmal danke! Ich weiß, die obige Rechnung ist mehr als abenteuerlich (und natürlich komplett falsch :) )

Ich probiere es jetzt gerade aus und bin aber bei f'(a) = lim (1/4(a³+3a² h+3ah²+h³))-1/4a³ (h unterm Bruchstrich, weiß leider gar nicht wie das geht) stehen geblieben. Bevor ich wieder irgendwelchen Unsinn anstelle frage ich lieber erst : muss ich wirklich erst mit 1/4 ausmultiplizieren oder kann ich irgendetwas anderes machen?

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Du kannst im Zähler 1/4 ausklammern (Distributivgesetz), dann mit Regeln von Multiplikation mit Brüchen vor den Bruch ziehen und dann mit Rechnenregeln für Grenzwerte vor den Grenzwert ziehen. Dann bleibt

$f'(a) = \frac{1}{4}\lim_{h\to 0}\frac{(a^3+3a^2 h+3ah^2+h^3)-a^3}{h}$.

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Entschuldigung, aber so ganz verstehe ich das nicht. Also ausklammern wäre ja jede Zahl mal 1/4 multiplizieren, aber was ist mit dem Rest gemeint?