Dartscheibe: Sektor treffen, damit die Punktzahl des Erwartungswertes am größten ist?

Question

Aufgabe:

Die Wohngemeinschaft stellt eine neue Dartscheibe her. Die Scheibe ist in 20 gleich große Sektoren eingeteilt, welche die Form von Kreisausschnitten besitzen, die im Mittelpunkt der Scheibe zusammentreffen. Im oberen Sektor erhält man bei einem Treffer 20 Punkte. Im Uhrzeigersinn folgen danach weitere Sektoren mit \( 1, 18, 4, 13, 6, 10, 15, 2, 17, 3, 19, 7, 16, 8, 11, 14, 9, 12 \) und \( 5 \) Punkten.

a) Ein Laie zielt auf einen Sektor und trifft diesen mit der Wahrscheinlichkeit von \( \mathrm{P}(\mathrm{T})=40 \% \) und die beiden Nachbarsektoren mit jeweils \( 30 \% \) -iger Wahrscheinlichkeit. In welchen Sektor muss der Laie zielen, damit der Erwartungswert seiner Punktzahl am größten ist?

Dokumentieren bzw. erläutem Sie lhre Lösungsschritte ausführlich.

b) Ein Profi zielt auf einen Sektor und trifft diesen mit der Wahrscheinlichkeit von \( P(T)=90 \% \) und die beiden Nachbarsektoren mit jeweils \( 5 \% \) -iger Wahrscheinlichkeit. In welchen Sektor muss der Profi zielen, damit der Erwartungswert seiner Punktzahl am größten ist?

Dokumentieren bzw. erläutern Sie Ihre Lösungsschritte ausführlich.

c) Ein Laie hat fleißig trainiert und sich deutlich verbessert. Ab welcher Trefferwahrscheinlichkeit P(T) sollte er die Profistrategie anwenden?

Dabei wird - analog zu den Aufgabenteilen a) und b) - vorausgesetzt, dass die Nachbarsektoren jeweils mit der Wahrscheinlichkeit (1-P(T) / 2 getroffen werden.

Comments

Hi jusi, das ist eine wirklich schöne Aufgabe. Natürlich könnte man zu a) und b) alle insgesamt 40 Erwartungswerte ausrechnen, aber die Zahl 40 deutet schon an, dass man das nicht wirklich will.

Ich betrachte mal a): Sei a die vom Laien anvisierte Zahl mit ihren beiden Nachbarn l und r. Dann gilt für den Erwartungswert E(Laie, a):

E = 0.3*l + 0.4*a + 0.3*r = 0.3*(l + a + r) + 0.1*a.

Damit haben wir eine Heuristik, nach der das Tripel mit der größten Sektorensumme am erfolgversprechendsten ist.

Derartige Überlegungen würde ich hier mal anstellen wollen, ohne dass das eine exakte Rechnung oder ein Beweis darstellt.

Den Titel "Aufgabenvorschlag III" finde ich interessant. Handelt es sich um einen Vorschlag zu einem Satz Abituraufgaben? Wenn ja: wurde er abgelehnt?

Answer 1

Ich weiß nicht ob es auch einfacher geht. Ich würde das knallhart für jeden Sektor einzeln ausrechnen. Ich mache das im folgenden mal mit Hilfe der Matrizenrechnung.

[1, 18, 4; 18, 4, 13; 4, 13, 6; 13, 6, 10; 6, 10, 15; 10, 15, 2; 15, 2, 17; 2, 17, 3; 17, 3, 19; 3, 19, 7; 19, 7, 16; 7, 16, 8; 16, 8, 11; 8, 11, 14; 11, 14, 9; 14, 9, 12; 9, 12, 5; 12, 5, 1; 5, 1, 18]·[(1 - p)/2; p; (1 - p)/2]

[1, 18, 4; 18, 4, 13; 4, 13, 6; 13, 6, 10; 6, 10, 15; 10, 15, 2; 15, 2, 17; 2, 17, 3; 17, 3, 19; 3, 19, 7; 19, 7, 16; 7, 16, 8; 16, 8, 11; 8, 11, 14; 11, 14, 9; 14, 9, 12; 9, 12, 5; 12, 5, 1; 5, 1, 18]·[(1 - 0.4)/2; 0.4; (1 - 0.4)/2]
= [8.7; 10.9; 8.2; 9.3; 10.3; 9.6; 10.4; 8.3; 12; 10.6; 13.3; 10.9; 11.3; 11; 11.6; 11.4; 9; 5.9; 7.3]

Damit sollte der Anfänger auf die 7 zielen. Dann hat er einen Erwartungswert von 13.3

 

[1, 18, 4; 18, 4, 13; 4, 13, 6; 13, 6, 10; 6, 10, 15; 10, 15, 2; 15, 2, 17; 2, 17, 3; 17, 3, 19; 3, 19, 7; 19, 7, 16; 7, 16, 8; 16, 8, 11; 8, 11, 14; 11, 14, 9; 14, 9, 12; 9, 12, 5; 12, 5, 1; 5, 1, 18]·[(1 - 0.9)/2; 0.9; (1 - 0.9)/2]
= [16.45; 5.15; 12.2; 6.55; 10.05; 14.1; 3.4; 15.55; 4.5; 17.6; 8.05; 15.15; 8.55; 11; 13.6; 9.4; 11.5; 5.15; 2.05]

Der Profi sollte auf die 19 zielen, Dann hat er einen Erwartungswert von 17.6

 

3·(1 - p)/2 + 19·p + 7·(1 - p)/2 > 19·(1 - p)/2 + 7·p + 16·(1 - p)/2
14·p + 5 > 17.5 - 10.5·p
p > 51.02%

Ab einer Trefferwahrscheinlichkeit von 51.02% sollte man die Profi-Strategie anwenden.