Aufgabe Kosten- und Erlösfunktion ermitteln

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben seien die skizzierte Erlösfunktion E = f(x) = a•x2+b•x (mit E = Erlös in € und x = verkaufte und produzierte Menge) sowie die eingezeichnete lineare Kostenfunktion K = g(x).

a)    Berechnen Sie aus den Angaben der Grafik die Kostenfunktion K = g(x)!

b)    Berechnen Sie den Funktionswert im Schnittpunkt der Kurven an der Stelle x1!

c)    Ermitteln Sie aus den Koordinaten der zwei Schnittpunkte die konkrete Gestalt der Erlösfunktion! [Tipp: Die beiden Parameter a und b sind unbekannt und sollen berechnet werden. Sie benötigen daher 2 Gleichungen zu deren Bestimmung.)

d)    Der eingezeichnete Pfeil bei x3 repräsentiert den Gewinn! Berechnen Sie, wie hoch der Gewinn bei x3 ist!

e)    Berechnen Sie, bei welchem x-Wert die Pfeillänge am größten ist!

f)    Welche Elastizität weist der Erlös bei x = 10 auf?

Bei a) habe ich raus: K(x)=10x+318

Bei b): y=348

Sind die Teilaufgaben so richtig? Bei den anderen Teilaufgaben bin ich überfragt :(

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!

Gruß

Answer 1

a)   K(x) = 10x + 318  ist richtig 

b)   K(x₁) = K(3) = 348 ist richtig

c)  

  P(3|348) und Q(53|848) sind Punkte der Erlösfunktion.

E(x) = ax² + bx , a und b sind zu bestimmen, dazu setzen wir P und Q in E(x) ein:

E(3) = 348    ⇔    9a + 3b = 348  ⇔_:3   3a + b = 116 → b = 116 - 3a

E(53) = 848  ⇔    2809a + 53b = 848 ⇔_:53  53a + b = 16 → b = 16 - 53a

116 - 3a = 16 - 53a    | + 53a | -116

50a = -100   | : 50

a = - 2       →  b = 116 - 3 · (-2) = 122

E(x) = - 2x² + 122x

d)

Gewinn = E(39) - K(39) = 1716 - 708 = 1008 [€]

e)

G(x) = E(x) - K(x) =  -2x² + 122x - (10x + 318 ) = -2x² +112x - 318

Für das Gewinnmaximum müssen wir G'(x) = 0  lösen:

 G'(x) = -4x + 112 = 0  →  x_Gmax = 28

f) 

Erlöselastizität = ε_E(x) =  E'(x) · x / E(x) = (- 4x + 122) · x / ( -2x² +122x )

ε_E(10) = 41/51 ≈ 0,8039

Gruß Wolfgang