Zeige dass Gleichheit in der Abschätzung gilt mit einem Beispiel

Question

Auf dem Streifen \(S:=\){\((x,y):a\leq x \leq b, y\in\mathbb{R}\)} sei die Funktion \(f: S\rightarrow \mathbb{R}\) stetig und genüge der Lipschitz-Bedingung:

\(|f(x,y)-f(x,z)| \leq L|y-z|\) für alle \( (x,y),(x,z) \in S\)

Für \(x_0 \in [a,b]\) und \(u\in\mathbb{R}\) bezeichnen wir mit \(y_u\) die Lösung der Anwangswertporblems

\(y'=f(x,y)\), \(y(x_0)=u\)

Zeige anhand eines geeigneten Beispiels, dass die Gleichheit in der folgenden Abschätzung gilt:

$$|y_u(x)-y_v(x)|\leq \exp(L|x-x_0|) |u-v|$$ für alle \(x\geq x_0\)

Comments

Also es soll ein Beispiel gefunden werden, für das die Gleichheit gilt?

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@Mister: Das macht eher Sinn.

Habe mich auch gerade gefragt, wie die Frage " Zeige anhand eines geeigneten Beispiels, dass die Gleichheit in der folgenden Abschätzung gilt: " genau gemeint ist.

Answer 1

das Folgende ist ein Beispiel, für das die Gleichheit gilt.

Sei \( f(x, y) = 0 \). Dann ist \( y_u = u \) und \( y_v = v \) sowie

\( | y_u(x) - y_v(x) | = | u - v | = \exp(L|x - x_0|) | u-v | \)

mit \( L = 0 \).

Mister