Zeichne die Abbildung eines Gebietes durch die komplexe Sinusfunktion

Question

die komplexe Fortsetzung des Sinus ist definiert durch:

\(sin(z):=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\)

Skizziere die Wirkung der komplexen Sinusfunktion auf das Quadrat Q={\(x+iy|0\leq x,y\leq \frac{pi}{2}\)}\(\subset\mathbb{C}\)

Welche Eckwinkel bleiben erhalten?

Answer 1

Kannst ja mal erst ein paar Werte ausrechnen
A bis D sind Quadratecken.

sin(0) = 0
sin(a + 0*i) = sin(a)
also wird das Stück der reellen Achse von 0 bis pi/2 abgebildet auf das Stück von o bis 1.

sin(pi/2 + a*i ) = cosh(a)
Also wird auch die Quadratseite von pi/2  bis pi/2 + pi/2 * i auf die reelle
Achse abgebildet und zwar von cosh(0)=1 bis cosh(pi/2) ungefähr gleich 2,5 .
Also wird aus dem 90°-Winkel bei pi/2 schon mal ein 180°-Winkel.
Dann weiter von  pi/2 + pi/2 * i bis 0 + pi/2 * i also
sin ( a + pi/2 * i ) = sin(a)*cosh(pi/2) + i * cos(a) *sinh(pi/2)
also wird die Strecke von C nach D auf eine gebogene Linie
von   cosh(pi/2)+0*i bis  0+sinh(pi/2) * i  abgebildet.
und die letzte Quadratseite von D nach A , also
Punkte von der Art 0 + i*a werden abgebildet auf
0 + sinh(a)*i , bleiben also auf der imaginären Achse,
somit bleibt bei A' der 90°-Winkel