Extremwertproblem: Aquarium mit 200m^3 möglichst billig

Question

Hallo Community,

Es geht um eine Übungsaufgaben für eine anstehende Klausur in der Q1.

Zoodirektor Brinkmann plant ein neues Aquarium. Es soll doppelt so lang wie breit sein. Oben ist es offen. Das Glas für die Bodenplatte kostet 300€/m^2, für die Seitenscheiben nur 250€/^2 (also etwas preiswerter). Das Aquarium soll ein Fassungsvermögen von 200m^3 haben. Welche Maße müssen gewählt werden, damit es möglichst billig ist? Wie hoch ist der Preis?

Ich weiß also: doppelt so lang wie breit --> normalerweise V=abc hier aber 2x^2*h=200

Das ist dann die NB.

Hier dann meine Probleme beim Aufstellen der HB:

Als HB hab ich die Oberfläche genommen, weil die ja optimiert werden soll??? Hier hab ich den Preis schon versucht mit einzubringen.

Ich hab die Funktion erstmal ohne Preise aufgestellt: O=2*2x*h+2x*x+2x*h

Mit Preisen?? Ok=2*2*259x*h+2*300x*x+2*250x*h

Dann die NB nach h umgestellt und in HB eingesetzt. Dann kommt bei mir raus O(x)=100x*(200:2x^2)+600*x^2+500x*(200:2x^2)

Dann vereinfacht und die erste Ableitung: O'(x)=-480000x^-2+1800x

Wenn ich das jetzt Null setzte und nach x hin auflöse, kommt da x=16,3299 raus.

Für h=0.375

Das kann ja nicht sein. Ich vermute Mal , dass ich die HB nucht richtig habe, aber ich weiß auch nicht mehr, was ich da noch tun kann.

Könnt ihr mir weiter helfen, und beim Ansatz helfen.

Schon mal vielen Dank

Answer 1

Das Aquarium ist nach oben offen. Also sind nur Kosten für Seitenflächen samt Bodenplatte zu optimieren.

a, b, und c seien die Kantenlängen des Aquariums. Es gilt a=2b und V=200. Dann ist 200 = 2b²·c. daraus folgt (1) c = 100/b².

Seitenwände; Randlänge der Bodenplatte 6b mal Höhe c des Aquariums. Kosten dafür 250·6·b·c = 1500bc

Bodenplatte: b·2b = 2b² ; Kosten dafür 600b².

Gesamtkosten (2) K(b) = 1500bc + 600b². (1) in (2) eingesetzt K(b) = 150000/b + 600b².

Jetzt das übliche Programm: Ableitung Nullsetzen, b_min bestimmen. K(b_min) ausrechnen.

Comments

Vielen Dank,

ich habs ausgerechnet, für b =5 und c=4 und insgesamt 45000€.

ein schönes Wochenende

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Wie bildet man die Ableitung für 150000/b+600b² ? Weil wir haben bisher nur gelernt die Ableitung zu bilden wenn man keinen Nenner hat.

Answer 2

NB:

V = (2·a)·a·h --> h = V/(2·a^2)

HB:

K = 300·(2·a)·a + 250·(2·a + 2·a + a + a)·h

K = 600·a^2 + 1500·a·h

K = 600·a^2 + 1500·a·(V/(2·a^2))

K = 600·a^2 + 750·V/a

K' = 1200·a - 750·v/a^2 = 0 --> a = (5/8·V)^{1/3}

h = v/(2·(5^{1/3}·v^{1/3}/2)^2) = (8/25·V)^{1/3}

a / h = 5/4 = 1.25

Comments

Wird hier die gestellte Frage beantwortet? Da a=5, ist h=4 und das Volumen ist 5·10·4=200. Wie hoch sind jetzt die Kosten?

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Vielleicht die bekannten Werte in die Kostenfunktion einsetzen?

K = 600·a² + 750·V/a

Muss ich helfen oder schaffst du das selber ?

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 Muss es nicht a=( -5/8V) ^1/3 heißen?

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Stell doch mal deine Rechnung dazu online. Dann kann ich besser helfen denke ich.

Answer 3

Hi,

aus welchem Buch stammt die Aufgabe?