Absoluten Fehler der Taylorentwicklung bestimmen, Differenzenformel

Question

Ich habe die Taylorentwicklung für $$e^x$$ durchgeführt und $$1+x+{{x^2}\over{2}}+{{x^3}\over{6}}+{{x^4}\over{24}}+{{x^5}\over{ 120}}+{{x^6}\over{720}}+{{x^7}\over{5040}}$$ erhalten.

Jetzt soll ich den absoluten Fehler dieser Näherung bei x = 1 bestimmen. Ich habe dazu diese Formel zur Verfügung:

$$|Df(x_0,h) - f'(x_0)| $$

Leider verstehe ich nicht, was ich da wo einsetzen soll. Wer kann mir bitte helfen?

Comments

Na, der absolute Fehler wird \(e-685/252\) sein. Schoener kann man das nicht angeben. Bei solchen Aufgaben soll man den Fehler aber eigentlich immer abschaetzen. Dazu muesstest Du erstmal die richtige Formel finden. Was Du da hingeschrieben hast, ist ein ziemlicher Fehlgriff. Benutze entweder eine Restglieddarstellung oder schaetze den Reihenrest ab.

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Eine mögliche Abschätzung:$$\left\vert e-\sum_{k=0}^7\frac1{k!}\right\vert=\sum_{k=8}^\infty\frac1{k!}<\frac1{8!}+\sum_{k=9}^\infty\frac1{4^k}=\frac1{40320}+\frac1{196608}<\frac3{100000}.$$

Answer 1

Für den absoluten Fehler musst du bei beiden Formeln x=1 einsetzen,

also  e¹   =  e    unddas Taylorpolynom bei x=1 also
1 + 1 + 1/2  +  1/6 + ......  +   1 / 5040   =  685/252

und dann  den Betrag der Differenz bilden :  gibt   |e -  685/252 |


ist ungefähr 0,00003.